| 引用本文: | 孔荣.奇型偏微分方程的柯西问题.[J].国防科技大学学报,1988,10(3):77-87 ,114.[点击复制] |
| Kong Rong.The Singular InitiaI Valuc Problem for a Class of Partial Differential Equations[J].Journal of National University of Defense Technology,1988,10(3):77-87 ,114[点击复制] |
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| 奇型偏微分方程的柯西问题 |
| 孔荣 |
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(系统工程与应用数学系)
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| 摘要: |
| 定解条件给在奇线上的偏微分方程的各种定解问题早已有研究[1～4]，多数作者使用了特殊函数作工具。本文用能量不等式组来解决一类奇型双曲型方程的柯西问题。
本文主要讨论如下问题解尚存在唯一性：
Lu≡[(ta/2?t-λ1(x,t)?x)(ta/2?t-λ2(x,t) ?x)+a(x,t)?t+b(x,t)?x+c(x,t)]u(x,t)=f(x,t)
(x,t)∈R×(0,T]
u∣t=0=φ(x),limta/2ut=ψ(x)
这是一个二阶偏微分方程，当 α>0时，?t2的系数当t=O 时变为零，因而这是一个初始值给在奇线上的柯西问题。我们假定：
(A) α为常数，0<α<1；所涉及的都是实函数；
(B) α(x，t)，b(x，t)，c(x,t),λj(x,t)(j=1,2)∈C1([0,T],C2(R))，且上述函数的所有可能的导数都有界；
(C) φ(x),ψ(x)∈C04(R))；
（D）f(x,t)∈C((0,T],C02(R)),且sup{ta/2(∣f∣+∣fx∣+∣fxx∣}＜+∞（Ⅱ）
(E)存在常数δ＞0，使当（x,t)∈R×[0,T]时，有：∣λ1(x,t)-λ2(x,t)∣≥δ条件（Ⅱ）中关于实函数的假设不是必要的，作此假设仅为方便。本文主要得到：定理1：在（Ⅱ）的假设下，（Ⅰ）存在唯一弱解u，并 u∈C([0,T),H1(R))∩C1((0,T),L2(R)).为证明该定理作了一系列准备，关键是证得引理1，引理2和引理6。 |
| 关键词: 偏微分方程，奇型，柯西问题解 |
| DOI： |
| 投稿日期：1987-09-01 |
| 基金项目: |
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| The Singular InitiaI Valuc Problem for a Class of Partial Differential Equations |
| Kong Rong |
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(Department of Applied Mathematics and System Engineering)
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| Abstract: |
| In this paper we discuss a c1ass of partial differential equations with singular coefficients，the initial problem for which can be solved uniquely. We have proved the fo11owing theorem:
The problem:
Lu≡[(ta/2?t-λ1(x,t)?x)(ta/2?t-λ2(x,t)?x)+a(x,t)?t+b(x,t)?x+c(x,t)]u(x,t)=f(x,t)
(x,t)∈R×(0,T]
u∣t=0=φ(x),limta/2ut=ψ(x)
can be solved uniquely by u∈C([0,T],H1(R))∩C1((0,T],L2(R)) if the following conditions are satisfied.
（A） a is a constant and 0j(x,t)(j=1,2)∈C’([0,T], C2(R)) and all the derivatives of the above functions are bounded by the constant;
（C） φ(x),ψ(x)∈C04(R)
（D） f(x,t)∈C((0,T],C02(R)),and
sup{ta/2(∣f∣+∣fx∣+∣fxx∣}＜+∞
(E) There exists a constantδ＞0,such that ∣λ1(x,t)-λ2(x,t)∣≥δwhere (x,t)?R×[0,T].
In the proof,we use the particular sets of energy inequalities.A generalizatitn of the theorem is obtained. |
| Keywords: Partial differential equations,Singnlar Coefficients |
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