基于全球导航卫星系统（global navigation satellite system，GNSS）载波相位测量的相对定位技术能够提供厘米级甚至毫米级的定位精度^[1-2]，在飞机全自动着陆、着舰，飞机精密编队飞行，实时动态测量等应用中发挥着重要作用。快速、可靠的整周模糊度解算是高精度相对定位的关键^[3-5]。在短基线条件下，当可视卫星数较多时，基于单基准站的相对定位能够获得较高的模糊度解算成功率；当可视卫星数较少、观测环境较差时，模糊度解算成功率可能出现明显下降，使得相对定位结果不可靠^[6-7]。

为了提高定位解算的可靠性，可将单天线替换为多天线，利用几何构型已知的天线阵列辅助参数，这一思想称为天线阵列辅助，其首次在文献^[8]中提出，用以提升精密单点定位的效果，随后被扩展到多种应用中；文献^[9]利用安装在运载体上的天线阵约束，显著提高了姿态测量中模糊度解算的成功率；文献^[10]研究了天线阵对连续运行参考站之间模糊度求解的影响，仿真结果表明，该方法能显著提高整体和部分模糊度的解算成功率；文献^[11]将天线阵列辅助的思想进一步扩展到卫星相位偏差估计，提升了参数估计的效果。

为提高单频单历元短基线相对定位解算的可靠性，本文借鉴天线阵列辅助的思想，利用基准站之间可提前精确测量的基线信息，提升相对定位中模糊度的估计效果，在此基础上推导模糊度精度因子（ambiguity dilution of precision，ADOP）的解析表达式，揭示基准站数量与模糊度浮点解精度的关系，然后进一步分析先验基线信息中可能包含的偏差对模糊度解算的影响，最后通过仿真和实测数据进行试验验证。

1 多基准站相对定位模型

假设移动站m和n个基准站r_i（i=1，2，···， n）在f个频点上同时观测s+1颗卫星，那么短基线情况下的多基准站单历元相对定位函数模型可表示为

其中：E（·）表示期望算子；Φ=[φ₁  φ₂···φ_n]为sf×n维双差载波相位观测矩阵，φ_i为基线b_i（移动站m和基准站r_i组成的基线）上的sf维双差载波相位观测向量；P为sf×n维双差伪距观测矩阵；Λ=λ$\otimes$I_s为sf×sf维模糊度系数矩阵，λ为f×f维对角阵，其对角线元素为各频点的波长，I_s表示s维单位阵，$\otimes$表示Kronecker乘积；G=e_f$\otimes$g为sf×3维基线系数矩阵，其中g为s×3维差分视线向量矩阵，e_f表示各元素均为1的f维向量，同理e_n表示各元素均为1的n维向量；b₁为待求的3维基线向量，z₁为b₁上待求的sf维双差模糊度向量；B₀=[0 b₂₁ b₃₁···b_n1]为3×n维参考基线矩阵，b_i1表示基准站r_i与基准站r₁组成的基线向量；Z₀=[0 z₂₁ z₃₁···z_n1]为sf×n维双差模糊度矩阵，z_i1表示基线b_i1上的双差模糊度向量，由于参考基线b_i1可提前精确标定，那么z_i1可通过式（2）快速求得。

式中，φ_i1表示基线b_i1上的双差模糊度观测量，“round”表示四舍五入。由于$\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left({\mathit{e}}_n^{\mathrm{T}}\otimes {\mathit{z}}_1\right)={\mathit{e}}_n\otimes z_1，\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left({\mathit{e}}_n^{\mathrm{T}}\otimes {\mathit{b}}_1\right)={\mathit{e}}_n\otimes {\mathit{b}}_1$（“vec”表示向量化算子），运用向量化运算公式vec（ABC）=（C^T$\otimes$A）·vec（B）和Kronecker乘积性质（A$\otimes$C）·（B$\otimes$D）=（AB）$\otimes$（CD），式（1）变为

$\left\{\begin{array}{c}vec\left(\mathbf{\Phi }-\mathbf{\Lambda }{\mathit{Z}}_0-\mathit{G}{\mathit{B}}_0\right)=\left({\mathit{e}}_n\otimes \mathbf{\Lambda }\right)z_1+\left({\mathit{e}}_n\otimes \mathit{G}\right){\mathit{b}}_1\\ vec\left(\mathit{P}-\mathit{G}{\mathit{B}}_0\right)=\left({\mathit{e}}_n\otimes \mathit{G}\right){\mathit{b}}_1\end{array}\right.$

令${\mathit{Y}}_{\mathrm{\Phi }}=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left(\mathbf{\Phi }-\mathbf{\Lambda }{\mathit{Z}}_0-\mathit{G}{\mathit{B}}_0\right)，{\mathit{Y}}_{\mathrm{P}}=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}（\mathit{P}-\left.\mathit{G}{\mathit{B}}_0\right)，\overline{\mathbf{\Lambda }}={\mathit{e}}_n\otimes \mathbf{\Lambda }，\overline{\mathit{H}}={\mathit{e}}_n\otimes \mathit{G}$，式（1）进一步变为

建立合理的随机模型是GNSS精密测量与定位的先决条件^[12]。假设各接收机测量误差服从相同的高斯分布，则多基准站相对定位随机模型可表示为

其中，D（·）表示方差算子，${\mathit{\sigma }}_{\varphi }^2=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\sigma }_{{\varphi }_1}^2，\cdots \right.\left.{\sigma }_{{\varphi }_f}^2\right)$和${\mathit{\sigma }}_p^2=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\sigma }_{p_1}^2，\cdots ，{\sigma }_{p_f}^2\right)$为天顶方向的非差相位和伪距方差阵，W=diag（w₁，···，w_s+1）为加权阵，“diag”表示对角阵，D_A=[e_n -I_n]为n×（n+1）维站间差分矩阵，D_S=[-e_s I_s]为s×（s+1）维星间差分矩阵。

式（4）证明：设非差相位和伪距观测矩阵分别为Φ_ud和P_ud，以相位观测量为例，双差观测量可表示为$\mathbf{\Phi }=\left({\mathit{I}}_f\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{S}}\right){\mathbf{\Phi }}_{\mathrm{u}\mathrm{d}}{\mathit{D}}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}$，则

$\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left(\mathbf{\Phi }\right)=\left[{\mathit{D}}_{\mathrm{A}}\otimes \left({\mathit{I}}_f\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{S}}\right)\right]\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left({\mathbf{\Phi }}_{\mathrm{u}\mathrm{d}}\right)$

由于各接收机测量误差服从相同的高斯分布，则有$D\left[\mathrm{vec}\left({\mathbf{\Phi }}_{\mathrm{u}\mathrm{d}}\right)\right]={\mathit{I}}_{n+1}\otimes \left({\mathit{\sigma }}_{\varphi }^2\otimes {\mathit{W}}^{-1}\right)$，根据误差传播定律得：

$\begin{array}{c}D[vec(\Phi \left)\right]=\left[{\mathit{D}}_{\mathrm{A}}\otimes \left({\mathit{I}}_f\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{S}}\right)\right]D\left[\mathrm{vec}\left({\mathbf{\Phi }}_{\mathrm{u}\mathrm{d}}\right)\right]\cdot \\ {\left[{\mathit{D}}_{\mathrm{A}}\otimes \left({\mathit{I}}_f\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{S}}\right)\right]}^{\mathrm{T}}\\ =\left({\mathit{D}}_{\mathrm{A}}{\mathit{D}}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)\otimes \left({\mathit{\sigma }}_{\varphi }^2\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{S}}{\mathit{W}}^{-1}{\mathit{D}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{T}}\right)\end{array}$

同理$D[\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}（\mathit{P}）]=\left({\mathit{D}}_{\mathrm{A}}{\mathit{D}}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)\otimes \left({\mathit{\sigma }}_p^2\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{S}}{\mathit{W}}^{-1}{\mathit{D}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{T}}\right)$。

由于Z₀和B₀可先验准确求得，可以认为：

$\begin{array}{c}D\left({\mathit{Y}}_{\mathrm{\Phi }}\right)=D[vec(\Phi \left)\right]\\ D\left({\mathit{Y}}_{\mathrm{P}}\right)=D[vec(P\left)\right]\end{array}$

由函数模型式（3）和随机模型式（4）可得待求基线b₁和模糊度z₁的最小二乘浮点解^[13]为

得到模糊度的浮点解及协方差阵后，可采用最小二乘模糊度降相关平差^[4]（least-squares ambiguity decorrelation adjustment，LAMBDA）算法进行模糊度的搜索，一旦模糊度固定至真值，即可精确解算出基线向量。

2 ADOP分析

ADOP的概念最先在文献^[15]中提出，其定义为

式中，|·|表示行列式运算，m为模糊度浮点解协方差矩阵${\mathit{Q}}_{{\widehat{z}}_1{\widehat{z}}_1}$的维数。由式（6）可知，ADOP的计算基于模糊度浮点解协方差矩阵的行列式，它不仅取决于各个模糊度的方差，还包含了模糊度之间的相关性，反映了模糊度的平均精度。ADOP值越小，表明模糊度浮点解的平均精度越高。给出单历元多基准站相对定位的ADOP解析表达式如下

证明：根据式（5）、矩阵求逆公式$\left(\mathit{A}-\mathit{D}{\mathit{B}}^{-1}\cdot \mathit{C}{）}^{-1}={\mathit{A}}^{-1}+{\mathit{A}}^{-1}\mathit{D}\left(\mathit{B}-\mathit{C}{\mathit{A}}^{-1}\mathit{D}\right)\mathit{C}{\mathit{A}}^{-1}\right.$，以及行列式性质$\left|\mathit{A}-\mathit{D}{\mathit{B}}^{-1}\mathit{C}\right|\left|\mathit{B}\right|=\left|\mathit{A}\right|\left|\mathit{B}-\mathit{C}{\mathit{A}}^{-1}\mathit{D}\right|$，可得

将式（4）、$\overline{\mathbf{\Lambda }}={\mathit{e}}_n\otimes \left(\mathit{\lambda }\otimes {\mathit{I}}_s\right)$和$\overline{\mathit{H}}={\mathit{e}}_n\otimes \left({\mathit{e}}_f\otimes \mathit{g}\right)$代入式（8），并利用Kronecker乘积性质（A$\otimes$B）^Τ=A^Τ$\otimes$B^Τ，（A$\otimes$B）^-1=A^-1$\otimes$B^-1，（A$\otimes$C）·（B$\otimes$D）=（AB）$\otimes$（CD），可得如下过渡项

其中，$e={\mathit{e}}_n^{\mathrm{T}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{A}}{\mathit{D}}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}{\mathit{e}}_n=\frac{n}{n+1}，{\mathit{S}}_{\varphi }=\left[{\mathit{\sigma }}_{\varphi }^{-2}\otimes \right.\left.{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{S}}{\mathit{W}}^{-1}{\mathit{D}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}\right]，{\mathit{S}}_{\mathrm{p}}=\left[{\mathit{\sigma }}_p^{-2}\otimes {\left({\mathit{D}}_{\mathrm{S}}{\mathit{W}}^{-1}{\mathit{D}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}\right]$。结合行列式性质$\left|{\mathit{A}}_{n\times n}\otimes {\mathit{B}}_{m\times m}\right|=\left|\mathit{A}{|}^m\right|\mathit{B}{|}^n$，式（8）变为

$\begin{array}{c}\left|{\mathit{Q}}_{{\widehat{z}}_1{\widehat{z}}_1}\right|={\left|{\mathit{e}}_n^{\mathrm{T}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{A}}{\mathit{D}}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}{\mathit{e}}_n\right|}^{-sf}{\left|{\mathit{\lambda }}^{\mathrm{T}}{\mathit{\sigma }}_{\varphi }^{-2}\mathit{\lambda }\right|}^{-s}{\left|{\mathit{D}}_{\mathrm{S}}{\mathit{W}}^{-1}{\mathit{D}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{T}}\right|}^f\cdot \\ {\left|{\mathit{I}}_3-{\left[{\mathit{e}}_f^{\mathrm{T}}\left({\mathit{\sigma }}_{\varphi }^{-2}+{\mathit{\sigma }}_p^{-2}\right){\mathit{e}}_f\right]}^{-1}{\mathit{e}}_f^{\mathrm{T}}{\mathit{\sigma }}_{\varphi }^{-2}{\mathit{e}}_f\otimes {\mathit{I}}_3\right|}^{-1}\\ ={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{sf}{\left(\prod _{i=1}^f\frac{{\sigma }_{{\varphi }_i}}{{\lambda }_i}\right)}^{2s}{\left(\frac{\sum _{i=1}^{s+1}{w}_i}{\prod _{i=1}^{s+1}{w}_i}\right)}^f{\left(1+\frac{{\mathit{e}}_f^{\mathrm{T}}{\mathit{\sigma }}_{\varphi }^{-2}{\mathit{e}}_f}{{\mathit{e}}_f^{\mathrm{T}}{\mathit{\sigma }}_p^{-2}{\mathit{e}}_f}\right)}^3\end{array}$

则

$\begin{array}{c}ADO{P}_{\text{多基准站}}={\left|{\mathit{Q}}_{{\widehat{z}}_1{\widehat{z}}_1}\right|}^{\frac{1}{2sf}}\\ =\sqrt{1+\frac{1}{n}}{\left(\prod _{i=1}^f\frac{{\sigma }_{{\varphi }_i}}{{\lambda }_i}\right)}^{\frac{1}{f}}{\left(\frac{\sum _{i=1}^{s+1}{w}_i}{\prod _{i=1}^{s+1}{w}_i}\right)}^{\frac{1}{2s}}{\left(1+\frac{{\mathit{e}}_f^{\mathrm{T}}{\mathit{\sigma }}_{\varphi }^{-2}{\mathit{e}}_f}{{\mathit{e}}_f^{\mathrm{T}}{\mathit{\sigma }}_p^{-2}{\mathit{e}}_f}\right)}^{\frac{3}{2sf}}\end{array}$

式（7）表明，ADOP值不仅与卫星数s、频率数f、加权矩阵W、测量精度σ_φ和σ_p相关，还受到基准站数量n的影响。因此，可视卫星数越多、所用频点数越多、测量精度越高、基准站数量越多，ADOP值将越小，表明模糊度浮点解的平均精度得到提升，这将有利于提高模糊度解算的成功率，从而增强高精度定位的可靠性。

3 基准站间先验基线信息偏差影响分析

前文分析已经表明，增加基准站数量能够提高模糊度浮点解的精度，其前提是基准站之间的基线向量通过先验测量得到精确标定。假若这一先验信息中包含偏差，则可能对模糊度的解算产生影响。本节将对这一问题进行分析。

假设包含偏差的参考基线项表示为B_0，b=B₀+ΔB₀，其中ΔB₀=[0 Δb₂₁···Δb_n1]，Δb_i1表示b_i1中包含的偏差，则根据式（2），基准站之间的双差模糊度变为

$\begin{array}{c}{\mathit{Z}}_{0,\mathrm{b}}=round\left\{{\mathbf{\Lambda }}^{-1}\left[{\mathbf{\Phi }}_0-\mathit{G}\left({\mathit{B}}_0+\mathrm{\Delta }{\mathit{B}}_0\right)\right]\right\}\\ =\left[\begin{array}{cccc}0& z_{21,\mathrm{b}}& \cdots & {\mathit{z}}_{n1,\mathrm{b}}\end{array}\right]\end{array}$

式中，Φ₀=[0 φ₂₁ φ₃₁···φ_n1]，φ_i1为b_i1上的双差相位观测量，z_i1，b表示b_i1上由基线向量偏差带来的模糊度整数值偏差。令${\mathit{Y}}_{\mathrm{\Delta }{B}_0}=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left(\mathrm{\Delta }{\mathit{B}}_0\right)，{\mathit{Y}}_{Z_0}=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left({\mathit{Z}}_0\right)，{\mathit{Y}}_{Z_{0，\mathrm{b}}}=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left({\mathit{Z}}_{0，\mathrm{b}}\right)$，对于式（5），基线浮点解${\widehat{\mathit{b}}}_1$及其双差模糊度浮点解${\widehat{z}}_1$受偏差的影响可表示为${\widehat{\mathit{b}}}_{1，\mathrm{b}}={\widehat{\mathit{b}}}_1+\mathrm{\Delta }\widehat{\mathit{b}}$及${\widehat{z}}_{1，\mathrm{b}}={\widehat{z}}_1+\mathrm{\Delta }\widehat{z}$，其中

证明：包含参考基线偏差的伪距和相位观测量为

$\begin{array}{c}{\mathit{Y}}_{\mathrm{P},\mathrm{b}}=vec\left[\mathit{P}-\mathit{G}\left({\mathit{B}}_0+\mathrm{\Delta }{\mathit{B}}_0\right)\right]={\mathit{Y}}_{\mathrm{P}}-\left({\mathit{I}}_n\otimes \mathit{G}\right){\mathit{Y}}_{\mathrm{\Delta }{\mathit{B}}_0}\\ {\mathit{Y}}_{\mathrm{\Phi },\mathrm{b}}=vec\left[\mathbf{\Phi }-\mathbf{\Lambda }{\mathit{Z}}_{0,\mathrm{b}}-\mathit{G}\left({\mathit{B}}_0+\mathrm{\Delta }{\mathit{B}}_0\right)\right]\\ ={\mathit{Y}}_{\mathrm{\Phi }}+\left({\mathit{I}}_n\otimes \mathbf{\Lambda }\right)\left({\mathit{Y}}_{Z_0}-{\mathit{Y}}_{Z_{0,\mathrm{b}}}\right)-\left({\mathit{I}}_n\otimes \mathit{G}\right){\mathit{Y}}_{\mathrm{\Delta }{\mathit{B}}_0}\end{array}$

那么式（5）中的基线浮点解变为

对于式（11）中的第一个等式有

对于式（11）中第二个等式有

结合式（9）及${\overline{\mathbf{\Lambda }}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{\Phi }}^{-1}={\mathit{e}}_n^{\mathrm{T}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{A}}{\mathit{D}}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}\otimes {\mathbf{\Lambda }}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\varphi }=\frac{{\mathit{e}}_n^{\mathrm{T}}}{n+1}\otimes {\mathbf{\Lambda }}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\varphi }，{\overline{\mathit{H}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{\Phi }}^{-1}=\frac{{\mathit{e}}_n^{\mathrm{T}}}{n+1}\otimes {\mathit{G}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\varphi }，{\overline{\mathit{H}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{P}}^{-1}=\frac{{\mathit{e}}_n^{\mathrm{T}}}{n+1}\otimes {\mathit{G}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{p}}$，式（13）中:

$\begin{array}{c}{\mathit{Q}}_{{\widehat{z}}_1{\widehat{z}}_1}{\overline{\mathbf{\Lambda }}}^{\mathrm{T}}{\left({\mathit{Q}}_{\mathrm{\Phi }}+\mathit{H}{\mathit{Q}}_{{\widehat{b}}_1{\widehat{b}}_1}{\mathit{H}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}.\\ \left[\overline{\mathit{H}}{\mathit{Q}}_{{\widehat{b}}_1{\widehat{b}}_1}{\overline{\mathit{H}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{P}}^{-1}\left({\mathit{I}}_n\otimes \mathit{G}\right){\mathit{Y}}_{\mathrm{\Delta }{B}_0}-\left({\mathit{I}}_n\otimes \mathit{G}\right){\mathit{Y}}_{\mathrm{\Delta }{B}_0}\right]\\ =\left[{\mathbf{\Lambda }}^{-1}\mathit{G}{\mathit{Q}}_{{\widehat{b}}_1{\widehat{b}}_1}{\mathit{H}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{P}}^{-1}-{\mathit{Q}}_{{\widehat{z}}_1{\widehat{z}}_1}{\overline{\mathbf{\Lambda }}}^{\mathrm{T}}{\overline{\mathit{Q}}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{Q}}_{\mathrm{\Phi }}+\right.\right.\\ \left.{\left.\overline{\mathit{H}}{\mathit{Q}}_{{\widehat{b}}_1{\widehat{b}}_1}{\overline{\mathit{H}}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}\right]\times \left({\mathit{I}}_n\otimes \mathit{G}\right){\mathit{Y}}_{\mathrm{\Delta }{B}_0}\\ =\left\{{\mathbf{\Lambda }}^{-1}\mathit{G}{\mathit{Q}}_{{\widehat{b}}_1{\widehat{b}}_1}{\mathit{H}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{P}}^{-1}-\left[{\overline{\mathbf{\Lambda }}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{\Phi }}^{-1}\overline{\mathbf{\Lambda }}-{\overline{\mathbf{\Lambda }}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{\Phi }}^{-1}\mathit{H}\cdot \right.\right.\\ {\left.{\left({\overline{\mathit{H}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{P}}^{-1}\mathit{H}+{\overline{\mathit{H}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{\Phi }}^{-1}\overline{\mathit{H}}\right)}^{-1}{\overline{\mathit{H}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{\Phi }}^{-1}\overline{\mathbf{\Lambda }}\right]}^{-1}.\\ \left[{\overline{\mathbf{\Lambda }}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{\Phi }}^{-1}-{\overline{\mathbf{\Lambda }}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{\Phi }}^{-1}\overline{\mathit{H}}\left({\overline{\mathit{H}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{P}}^{-1}\overline{\mathit{H}}+\right.\right.\\ \end{array}$

因此有

$\begin{array}{c}\Delta \widehat{z}={\mathit{Q}}_{{\widehat{z}}_1{\widehat{z}}_1}{\overline{\mathbf{\Lambda }}}^{\mathrm{T}}{\left({\mathit{Q}}_{\mathrm{\Phi }}+\overline{\mathit{H}}{\mathit{Q}}_{{\widehat{b}}_1{\widehat{b}}_1}{\overline{\mathit{H}}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}\left({\mathit{I}}_n\otimes \mathbf{\Lambda }\right)\left({\mathit{Y}}_{Z_0}-{\mathit{Y}}_{Z_{0,\mathrm{b}}}\right)\\ =\left(\frac{{\mathit{e}}_n^{\mathrm{T}}}{n}\otimes {\mathbf{\Lambda }}^{-1}\right)\left({\mathit{I}}_n\otimes \mathbf{\Lambda }\right)\left({\mathit{Y}}_{Z_0}-{\mathit{Y}}_{Z_{0,\mathrm{b}}}\right)\\ =\frac{1}{n}\sum _{i=2}^n\left(z_{i1}-z_{i1,\mathrm{b}}\right)\end{array}$

式（10）表明，多基准站的作用之一是对偏差相关项进行了（加权）平均。由于$z_{i1，b}=\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\left[{\mathbf{\Lambda }}^{-1}\left({\mathit{\varphi }}_{i1}-\mathit{G}{\mathit{b}}_{i1}\right)-{\mathbf{\Lambda }}^{-1}\mathit{G}\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1}\right]$，其中相位观测量φ_i1的精度可达毫米级，当$\left|{\mathbf{\Lambda }}^{-1}\mathit{G}\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1}\right|<\frac{1}{2}{\mathit{e}}_{sf}$（其中|·|表示取绝对值，i=1，···，n）时，很容易使得${\mathit{Y}}_{Z_{0，\mathrm{b}}}={\mathit{Y}}_{Z_0}$，此时$\mathrm{\Delta }\widehat{z}=0$。因此根据经验法则，当${\mathit{\Lambda }}^{-1}\mathit{G}\mathrm{\Delta }{\mathit{B}}_0$0的影响小于半周时，可以认为先验基线偏差对模糊度浮点解没有影响。以全球定位系统（global positioning system，GPS）L1或北斗导航卫星系统（BeiDou navigation satellite system，BDS）B1频率为例进行简单分析，波长λ≈0.2 m，由于差分视线向量矩阵G的各元素小于2，则有

$\left|{\mathbf{\Lambda }}^{-1}\mathit{G}\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1}\right|<{0.2}^{-1}\times 2\left[\begin{array}{c}\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1,x}\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1,y}\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1,z}\right|\\ \left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1,x}\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1,y}\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1,z}\right|\\ ⋮\\ \left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1,x}\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1,y}\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1,z}\right|\end{array}\right]$

因此当$\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1，x}\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1，y}\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1，z}\right|<0.05\mathrm{m}$时，可以认为此时对模糊度解算无影响。

尽管基线偏差较大时会带来模糊度浮点解的偏差，但模糊度固定解仍可能保持较高成功率，解释如下：假设基线偏差导致有偏的模糊度浮点解服从高斯分布${\widehat{z}}_1\sim \mathrm{N}\left(z_1+\mathrm{\Delta }z，{\mathit{Q}}_{{\widehat{z}}_1{\widehat{z}}_1}\right)$，则模糊度解算成功率^[16]为

由式（15）可知，模糊度解算成功率等于模糊度浮点解的概率密度函数在归整域（积分区域）内的积分，由于基线偏差仅改变模糊度浮点解的期望，而对其概率密度函数的形状没有影响，因此只要概率密度函数的中心轴z₁+Δz仍在归整域内，模糊度解算成功率就不会发生明显变化；一旦中心轴z₁+Δz接近甚至跨过积分边界，模糊度解算成功率将可能迅速下降。这一现象将会在后文的试验分析中得到验证。

4 试验结果分析

为了验证多基准站相对定位的性能，本节采用仿真数据和实测数据，计算和比较不同卫星数、不同先验基线偏差情况下的单基准站和多基准站单频单历元模糊度解算成功率。模糊度解算成功率通过解算正确的模糊度历元数除以总历元数计算得到。

4.1 仿真试验

试验选取2018年4月13日西安某一时刻的BDS卫星真实星座构型，通过蒙特卡洛仿真生成10⁵个观测数据，仿真试验的设置如表1所示。分别采用单基准站和本文多基准站（基准站数量为3）相对定位模型对数据进行处理，不同卫星数情况下的位置精度因子（position dilution of precision，PDOP）和平均ADOP值如图1所示；利用LAMBDA算法固定模糊度，统计不同可视卫星数情况下模糊度固定正确的样本数，计算模糊度解算成功率，结果如表2所示。然后在参考基线各分量中加入不同偏差，计算3基准站情况下的模糊度解算成功率，结果如表3所示。最后，为了分析3基准站对模糊度解算收敛速度的影响，统计了不同可视卫星数情况下的模糊度平均首次固定时间（time-to-first-fix，TTFF），结果如表4所示。试验中的平均TTFF通过下述方法计算得到：从第一个样本数据开始进行模糊度递推解算，当模糊度固定并通过Ratio检验（文中设定ratio=3）时，记录本次模糊度固定所用样本数，然后从第二个样本开始，再次统计模糊度固定并通过Ratio检验所用样本数，如此往复，最终计算模糊度固定平均所用样本数，即为平均TTFF。

由图1可知，可视卫星数和基准站数量的增加使得ADOP值减小，表明模糊度浮点解的平均精度得到提升，但前者作用更为明显，这是因为，由式（7）可知，卫星数s的影响作用于指数项，而基准站数量n的影响仅作用于乘项系数$\sqrt{1+1/n}$。由表2可知，相比于单基准站情况，3基准站的设置能有效提升模糊度解算成功率，当卫星数较少时，提升效果更为明显。由表3可知，当先验基线中偏差分量均在5 cm以内时，模糊度解算成功率未受影响；当偏差为6 cm时，模糊度解算成功率略微下降；当偏差达到7 cm时，模糊度解算成功率出现明显下降。这一变化情况与第3节中式（15）关于偏差的影响分析一致。由表4可以看出，随着基准站数量的增加，不同可视卫星数情况下的模糊度TTFF值得到不同程度的缩短，表明模糊度收敛速度获得提升，其原因是模糊度浮点解精度得到了提高。需要说明的是，表4中的TTFF实际对应的是达到Ratio检验时所用的平均仿真样本个数，并不与真实时间对应，仅用于反映模糊度收敛速度的快慢。

4.2 实测试验

为进一步验证算法对实测数据的适用性，选取2018年4月17日一段长度为4 553历元的实测静态数据进行试验，数据采样间隔为1 s，卫星截止角设为15°，试验场地为空军工程大学信息与导航学院科研楼楼顶，共放置4对NovAtel接收机和天线，接收机/天线型号分别为OEM628/GPS702、OEM638/GPS703、OEM719/GPS702、OEM729/GPS703，天线之间距离若干米，天线间基线向量已提前精确标定。试验时段内共视GPS卫星数与PDOP的变化情况如图2所示。

首先分别计算单基准站和3基准站情况下的单频单历元模糊度和ADOP值，ADOP的变化情况如图3所示。然后统计模糊度固定正确的样本数，计算模糊度解算成功率，结果显示，单基准站、3基准站的模糊度解算成功率分别为86.65%、94.71%。在此基础上，在参考基线各分量中分别添加不同偏差，计算3基准站情况的模糊度解算成功率，结果如表5所示。

图3表明，3基准站相对定位的ADOP值始终小于单基准站的情况。由表5和表6可知，多基准站设置有助于模糊度解算成功率的提高，这与仿真数据结果基本一致，并且对先验基线中的小偏差（3 cm以内，此时$\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1，x}\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1，y}\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{b}}_{i1，z}\right|⩽0.09\mathrm{m}$）具有较好的抑制效果；当偏差为4 cm时，模糊度解算成功率开始降低，但仍达到了92%以上；当偏差超过5 cm时，模糊度解算成功率发生明显下降。

5 结论

本文从理论分析和试验验证两方面对多基准站相对定位算法进行了研究，其核心是利用基准站之间可提前测量的先验基线信息提升相对定位模糊度解算的效果。理论分析方面，在给出多基准站相对定位模型的基础上，推导了ADOP的解析表达式，揭示了基准站数量的增加对模糊度浮点解精度的提升作用；然后进一步分析了先验基线向量中可能包含的偏差对模糊度解算的影响，分析表明，当偏差小于若干个厘米时，可以认为模糊度解算不受影响。试验验证方面，仿真和实测数据结果表明，相比于传统单基准站情况，多基准站的设置能够有效提升模糊度解算的可靠性和收敛速度，并且当先验基线信息中包含较小偏差时，仍能保持较高的模糊度解算成功率。多基准站相对定位所具有的抗偏差特性可为特殊场景下（如战时临时机场快速搭建）基准站间的快速非精确标定提供理论依据。

参考文献