碳纳米管增强复合材料Timoshenko梁弯曲和屈曲行为分析

吴栋; 张大鹏; 于宝石; 雷勇军; WU Dong; ZHANG Dapeng; YU Baoshi; LEI Yongjun

doi: 10.11887/j.cn.202403007

吴栋^1,2 ，张大鹏^1,2 ，于宝石^1,2 ，雷勇军^1,2,3

1. 国防科技大学空天科学学院, 湖南长沙 410073

2. 空天任务智能规划与仿真湖南省重点实验室, 湖南长沙 410073

3. 火箭军工程大学，陕西西安 710025

基金项目: 国家自然科学基金资助项目(11902348，11872372) ；湖南省自然科学基金资助项目(2020JJ5650) ；国防科技大学科研计划资助项目(ZK20-27) ；国防科技大学自主创新科学基金资助项目(22-ZZCX-077)

详细信息

作者简介

吴栋(1997—),男,安徽阜阳人,博士研究生,E-mail: wudongzhuqiu19@163.com

通讯作者

雷勇军(1968—),男,湖南常德人,教授,博士,博士生导师,E-mail: leiyj108@nudt.edu.cn

中图分类号: O345

文献标识码: A

文章编号: 1001-2486(2024)03-070-09

Bending and buckling behavior analysis of the carbon nanotubes reinforced composites Timoshenko beams

WU Dong^1,2 ， ZHANG Dapeng^1,2 ， YU Baoshi^1,2 ， LEI Yongjun^1,2,3

1. College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073 , China

2. Hunan Key Laboratory of Intelligent Planning and Simulation for Aerospace Missions, Changsha 410073 , China

3. Rocket Force University of Engineering, Xi′an 710025 , China

摘要

考虑碳纳米管（carbon nanotubes，CNTs）的尺度效应，研究宏观尺度下碳纳米管增强复合材料（carbon nanotubes reinforced composites，CNTRCs）梁的弯曲和屈曲行为。在EMT（Eshelby-Mori-Tanaka）方法的基础上，利用非局部理论提出了可表征CNTs尺度效应的非局部EMT本构模型。根据Timoshenko梁理论，采用哈密顿原理得到CNTRCs梁的静力学微分方程和边界条件。求解简支边界条件下CNTRCs梁的弯曲响应和极限屈曲载荷，并与文献进行对比验证所建模型和求解方法的正确性。分析了CNTs的尺度效应参数和体积分数以及复合材料梁的长细比等因素对简支CNTRCs梁弯曲响应和极限屈曲载荷的影响规律。结果表明，考虑CNTs的尺度效应会削弱结构等效刚度，且CNTs体积分数和尺度效应参数对大长细比CNTRCs梁的弯曲响应和极限屈曲载荷的影响幅度较大。

关键词

非局部理论 / Eshelby-Mori-Tanaka方法 / 弯曲 / 屈曲 / 碳纳米管增强复合材料

Abstract

Bending and buckling behavior of the macro CNTRCs (carbon nanotubes reinforced composites) beam was studied considering the scale effect of CNTs (carbon nanotubes). Based on the EMT (Eshelby-Mori-Tanaka) method and using nonlocal theory to characterize the scale effect of CNTs, the nonlocal EMT constitutive model was established. According to the Timoshenko beam theory, the static differential equations and boundary conditions of CNTRCs beams were derived through Hamilton principle. Bending response and ultimate buckling load of CNTRCs beams at S-S (simply supported) edges were obtained and compared with the literature to verify the correctness of the proposed model and solution method. Influences of the scale effect parameters and volume fraction of CNTs and the slenderness ratio of composite beams on the bending response and ultimate buckling load of S-S CNTRCs beams were analyzed. Results show that the equivalent stiffness of the CNTRCs beam is weakened by considering the scale effect of CNTs, and the volume fraction of CNTs and the scale effect parameter both have a great impact on the bending response and ultimate buckling load of the CNTRCs beam with a large slenderness ratio.

Keywords

nonlocal theory / Eshelby-Mori-Tanaka method / bending / buckling / carbon nanotubes reinforced composites

1 CNTRCs Timoshenko梁静力学建模 1.1 非局部EMT本构模型 1.2 静力学微分方程 2 简支CNTRCs梁的弯曲和屈曲响应求解 2.1 弯曲响应求解 2.2 屈曲响应求解 2.3 数值求解及验证 3 参数对简支CNTRCs梁弯曲、屈曲响应的影响分析 3.1 体积分数的影响 3.2 尺度效应参数和长细比的影响 4 结论

碳纳米管（carbon nanotubes，CNTs）的发现开启了纳米复合材料领域的新时代^[1]，因其具有优异的力学、化学和物理性能，被业界认为是复合材料的理想增强相材料^[2]。在基体中掺入CNTs制成碳纳米管增强复合材料（carbon nanotubes reinforced composites，CNTRCs）可显著提高基体的强度、刚度、韧性、导电性和热稳定性^[1]，因此CNTRCs在几乎所有的工业领域都有广阔的应用前景^[3]，同时具有巨大的潜在经济价值。采用理论方法对CNTRCs的力学行为开展研究可对其在工业上的应用做出指导，并进一步促进其推广应用。

CNTRCs理论研究的主要方法有连续介质力学建模法和分子动力学仿真法，其中当结构尺寸较大时，分子动力学仿真所需的计算资源和时间成本较高^[4]，因此国内外学者多基于分子动力学仿真结果建立CNTRCs结构的连续介质力学模型。CNTs等纳米材料具有明显的尺度效应^[5]，经典的连续介质力学模型未考虑纳米材料的尺度效应而无法准确描述CNTs增强相的力学行为。为此，学者们对经典的连续介质力学模型进行改进，提出了非局部理论^[6]、表面弹性理论^[7]、应变梯度理论^[8]和修正的偶应力理论^[9]等。其中，非局部理论与分子动力学仿真结果吻合较好^[10]，被广泛应用于研究纳米结构的振动^[11-12]、弯曲^[13-14]、屈曲^[15-16]以及波的传播^[17-18]等力学行为。

研究CNTRCs结构的力学行为主要有两种方法^[19]：EMT（Eshelby-Mori-Tanaka）方法和混合法则。Shen^[20]通过将传统的混合法则得到的CNTs弹性模量与分子动力学仿真结果进行匹配建立了用于CNTRCs力学行为研究的混合法则模型，该方法因具有显著的简便性被广大学者用于研究CNTRCs的力学特性^[21-22]。然而，混合法则的缺陷是未考虑到CNTs的固有特性，如团聚效应、波纹和尺度效应等。以Eshelby所建立的等效弹性夹杂理论为基础，Mori和Tanaka提出了复合材料内部的平均应力计算方法，构成了EMT方法理论和求解框架，使其计算更为简便，从而促进其在复合材料领域的推广应用。Odegard等^[23]首次将EMT方法运用到分析CNTRCs结构的力学行为，并与实验结果进行对比验证了该方法的正确性。自此以后，EMT方法被广大学者应用于CNTRCs结构的力学行为研究中，特别是与非局部理论相结合研究CNTRCs纳米结构的力学特性。Daghigh等利用EMT方法得到了CNTRCs的等效弹性参数，在此基础上基于非局部理论研究了黏弹性地基上CNTRCs纳米矩形板的自由振动^[24]和静力学响应特性^[25]。Arani等^[26]则基于非局部理论和EMT方法研究了CNTRCs微米板的非线性振动问题。Ebrahimi等^[27]采用EMT方法获得了功能梯度CNTRCs的等效弹性参数，并基于非局部应变梯度理论研究了热载荷下功能梯度CNTRCs纳米梁的波传播特性。

然而，目前考虑CNTs的尺度效应研究宏观CNTRCs结构力学行为的报道相对较少。本文采用非局部理论考虑CNTs的尺度效应，将其与EMT方法相结合建立适用于CNTRCs力学行为分析的非局部EMT本构模型。在此基础上，基于Timoshenko梁模型和哈密顿原理建立CNTRCs梁的静力学微分方程和边界条件。最后，分析CNTs的尺度效应和体积分数以及复合材料梁的长细比对两端简支CNTRCs Timoshenko梁弯曲和屈曲行为的影响。一方面利用非局部理论对经典的EMT方法进行改进，使其能计及宏观复合材料中纳米增强相的尺度效应；另一方面相关研究成果可为CNTRCs的应用和优化设计提供理论指导。

1 CNTRCs Timoshenko梁静力学建模

1.1 非局部EMT本构模型

假设基体中均布大量单向对齐的CNTs，CNTs的方向均垂直于CNTRCs的左端面，建立如图1所示的CNTRCs的代表性体积元（representative volume element，RVE）模型，该RVE模型相对于宏观CNTRCs无限小，相对于CNTs无限大。

图1CNTRCs梁及其RVE模型

Fig.1CNTRCs beam and its RVE model

基于非局部理论^[6]和EMT方法原理^[28]可得CNTs和基体的本构方程分别为

[1 - {(e_{0} a)}^{2} \nabla^{2}] σ_{r} = C_{r} ε_{r}

(1)

σ_{m} = C_{m} ε_{m}

(2)

其中：σ_r和σ_m分别表示CNTs的非局部应力张量和基体的局部应力张量；C_r和C_m分别表示CNTs和基体的刚度矩阵；ε_r和ε_m分别表示CNTs和基体的应变张量；e₀为材料常数，可通过实验或分子动力学仿真的方法得到；a为材料的内部特征尺寸；

\nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

为拉普拉斯算子。

基体的平均应变ε_m和CNTRCs的平均应变ε之间的关系^[29]为

ε_{m} = {(f_{r} A_{E M T} + f_{m} I)}^{- 1} ε

(3)

其中：A_EMT是四阶EMT张量，且有ε_r=A_EMTε_m，详见文献^[30]；I为单位矩阵；f_m和f_r分别表示CNTRCs中基体和CNTs的体积分数，且有f_m+f_r=1。

假设基体与CNTs之间完美结合，根据EMT方法可将CNTRCs的平均应力σ和平均应变ε分别表示为

σ = f_{m} σ_{m} + f_{r} σ_{r}

(4)

ε = f_{m} ε_{m} + f_{r} ε_{r}

(5)

将式（1）~（3）代入式（4）和式（5），可得考虑尺度效应的非局部EMT本构模型为

\begin{matrix} [1 - {(e_{0} a)}^{2} \nabla^{2}] σ \\ = [1 - {(e_{0} a)}^{2} \nabla^{2}] f_{m} C_{m} ε_{m} + f_{r} C_{r} ε_{r} \\ = (f_{m} C_{m} + f_{r} C_{r} A_{E M T}) ε_{m} - {(e_{0} a)}^{2} \nabla^{2} f_{m} C_{m} ε_{m} \\ = C ε - {(e_{0} a)}^{2} C_{n} \nabla^{2} ε \end{matrix}

(6)

其中：

C = (f_{m} C_{m} + f_{r} C_{r} A_{E M T}) {(f_{r} A_{E M T} + f_{m} I)}^{- 1}

，

C_{n} = f_{m} C_{m} {(f_{r} A_{E M T} + f_{m} I)}^{- 1}

；且有^[31]

(7)

式中，k、l、m、n和p为CNTRCs的Hill弹性模量。

值得注意的是，本节以CNTRCs为对象对非局部EMT本构模型的构建过程进行了阐述，该模型同样可适用于其他纳米纤维增强复合材料的力学行为研究。

1.2 静力学微分方程

图2所示为CNTRCs梁的几何模型示意图，采用Timoshenko梁模型模拟CNTRCs梁，其长、宽和高分别为L、b和h。以CNTRCs梁左端面中点为原点建立笛卡儿坐标系o-xyz，其中x轴沿CNTRCs的中性轴并指向其右端面，z轴指向CNTRCs梁的上端面并与x轴正交，y轴遵循右手螺旋法则。

基于Timoshenko梁理论，CNTRCs梁的位移场可表示为

\{\begin{matrix} u_{1} = u (x, t) - z φ (x, t) \\ u_{2} = 0 \\ u_{3} = w (x, t) \end{matrix}

(8)

图2CNTRCs梁的几何模型

Fig.2Geometric model of CNTRCs beam

其中：φ（x，t）和w（x，t）分别表示CNTRCs梁横截面绕y轴的转角和梁中性轴的横向位移；u（x，t）为梁中面位移沿x轴和z轴的分量。

由式（8）可得CNTRCs梁的应变场为

\{\begin{matrix} ε_{x x} = \frac{\partial u}{\partial x} - z \frac{\partial φ}{\partial x} \\ γ_{x z} = - φ + \frac{\partial w}{\partial x} \end{matrix}

(9)

将式（9）代入式（6），可得

\begin{matrix} [1 - {(e_{0} a)}^{2} \nabla^{2}] σ_{x x} \\ = {(e_{0} a)}^{2} c_{n, 11} z \frac{\partial^{3} φ}{\partial x^{3}} - c_{11} z \frac{\partial φ}{\partial x} - {(e_{0} a)}^{2} c_{n, 11} \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}} + c_{11} \frac{\partial u}{\partial x} \end{matrix}

(10)

\begin{matrix} [1 - {(e_{0} a)}^{2} \nabla^{2}] σ_{x z} \\ = k c_{13} (\frac{\partial w}{\partial x} - φ) + {(e_{0} a)}^{2} c_{n, 13} (\frac{\partial^{2} φ}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{3} w}{\partial x^{3}}) \end{matrix}

(11)

其中：c₁₁=C（1，1），c₁₃=C（5，5），c_n_，11=C_n（1，1），c_n_，13=C_n（5，5）；k取

\frac{5}{6}

，为Timoshenko梁的剪切修正系数^[32]。

通过哈密顿原理推导得CNTRCs梁的静力学微分方程和边界条件，其解析表达式为

δ \int_{0}^{T} [K - (U - W)] d t = 0

(12)

式中：K表示CNTRCs梁的动能；U表示CNTRCs梁的应变能；W表示施加在CNTRCs梁上外力所做的功。

CNTRCs梁的动能在时域[0，T]内的一阶变分可表示为

\begin{matrix} δ \int_{0}^{T} K d t = \int_{0}^{T} \int_{0}^{L} ρ (I \frac{\partial^{2} φ}{\partial t^{2}} δ φ + A \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}} δ w) d x d t + \\ \int_{0}^{T} \int_{0}^{L} ρ (A \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} δ u) d x d t \end{matrix}

(13)

式中：I≡I_y=

\int_{A} z^{2} d A

为CNTRCs梁横截面相对于y轴的惯性矩；A为CNTRCs梁的横截面积；ρ为CNTRCs梁的密度。

CNTRCs梁的应变能在时域[0，T]内的一阶变分可表示为

\begin{matrix} δ \int_{0}^{T} U d t = \int_{0}^{T} \int_{0}^{L} [(- Q + \frac{\partial M}{\partial x}) δ φ] d x d t - \\ \int_{0}^{T} \int_{0}^{L} [\frac{\partial Q}{\partial x} δ w + \frac{\partial N}{\partial x} δ u] d x d t + \\ {\int_{0}^{T} (N δ u + Q δ w - M δ φ)|}_{x = 0}^{x = L} d t \end{matrix}

(14)

式中，

\{\begin{matrix} N = \int_{A} σ_{x x} d A \\ M = \int_{A} σ_{x x} z d A \\ Q = \int_{A} σ_{x z} d A \end{matrix}

(15)

外力对CNTRCs所做的功在时域[0，T]内的一阶变分可表示为

\begin{matrix} \int_{0}^{T} δ W d t = \int_{0}^{T} \int_{0}^{L} (q δ w + f δ u) d x d t - \\ \int_{0}^{T} \int_{0}^{L} \bar{N} \frac{d^{2} w}{d x^{2}} δ w d x d t + \\ {\int_{0}^{T} (\bar{N} \frac{d w}{d x} δ w - \bar{M} δ φ)|}_{0}^{L} d t + \\ {\int_{0}^{T} (\bar{N} δ u + \bar{V} δ w)|}_{0}^{L} d t \end{matrix}

(16)

式中：f和q分别表示单位长度载荷沿x轴和z轴的分量；

\bar{N}

和

\bar{V}

分别表示施加在CNTRCs梁上的轴向力和横向剪切力；

\bar{M}

表示施加在CNTRCs梁两端的弯矩。

将式（13）、式（14）和式（16）代入式（12），并考虑δφ和δw在x∈[0，L]和t∈[0，T]内的任意性，可得CNTRCs梁的静力学微分方程为

δ u : \frac{\partial N}{\partial x} + f = 0

(17)

δ w : \frac{\partial Q}{\partial x} + q (x) - \bar{N} \frac{d^{2} w}{d x^{2}} = 0

(18)

δ φ : Q - \frac{\partial M}{\partial x} = 0

(19)

同时可得边界条件为

(20)

其中，下标“0”表示各物理量的初始值。

由式（10）、式（11）和式（15）可得

[1 - {(e_{0} a)}^{2} \nabla^{2}] N = c_{11} A \frac{\partial u}{\partial x} - {(e_{0} a)}^{2} c_{n, 11} A \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}

(21)

[1 - {(e_{0} a)}^{2} \nabla^{2}] M = {(e_{0} a)}^{2} c_{n, 11} I \frac{\partial^{3} φ}{\partial x^{3}} - c_{11} I \frac{\partial φ}{\partial x}

(22)

\begin{matrix} [1 - {(e_{0} a)}^{2} \nabla^{2}] Q = k c_{13} A (\frac{\partial w}{\partial x} - φ) + \\ {(e_{0} a)}^{2} c_{n, 13} A (\frac{\partial^{2} φ}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{3} w}{\partial x^{3}}) \end{matrix}

(23)

为了简化计算和分析，引入以下无量纲参数：

α = \frac{e_{0} a}{L} ， η = \frac{L}{h} ， \bar{w} = \frac{w}{L} ， \bar{u} = \frac{u}{L} ， \bar{b} = \frac{b}{L}

，

{\bar{c}}_{13} = \frac{c_{13}}{c_{11}}

，

{\bar{c}}_{n ， 11} = \frac{c_{n ， 11}}{c_{11}} ， {\bar{c}}_{n ， 13} = \frac{c_{n ， 13}}{c_{11}}

，

\bar{q} = \frac{q}{c_{11} L} ， \bar{f} = \frac{f}{c_{11} L} ， {\bar{N}}_{n d} = \frac{\bar{N}}{c_{11} L^{2}}

。

将式（21）~（23）及上述参数代入式（17）~（19），可得CNTRCs梁静力学微分方程的无量纲表达式为

\frac{\bar{b}}{η} \frac{\partial^{2} \bar{u}}{\partial {\bar{x}}^{2}} - \frac{\bar{b} α^{2} {\bar{c}}_{n, 11}}{η} \frac{\partial^{4} \bar{u}}{\partial {\bar{x}}^{4}} + (1 - α^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial {\bar{x}}^{2}}) \bar{f} = 0

(24)

\begin{matrix} (1 - α^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial {\bar{x}}^{2}}) (\bar{q} - {\bar{N}}_{n d} \frac{\partial^{2} \bar{w}}{\partial {\bar{x}}^{2}}) + \frac{k \bar{b} {\bar{c}}_{13}}{η} \frac{\partial^{2} \bar{w}}{\partial {\bar{x}}^{2}} - \frac{k \bar{b} {\bar{c}}_{13}}{η} \frac{\partial φ}{\partial \bar{x}} + \\ \frac{\bar{b} α^{2} {\bar{c}}_{n, 13}}{η} (\frac{\partial^{3} φ}{\partial {\bar{x}}^{3}} - \frac{\partial^{4} \bar{w}}{\partial {\bar{x}}^{4}}) = 0 \end{matrix}

(25)

\begin{matrix} \frac{k \bar{b} {\bar{c}}_{13}}{η} (\frac{\partial \bar{w}}{\partial \bar{x}} - φ) + \frac{\bar{b} α^{2} {\bar{c}}_{n, 13}}{η} (\frac{\partial^{2} φ}{\partial {\bar{x}}^{2}} - \frac{\partial^{3} \bar{w}}{\partial {\bar{x}}^{3}}) + \\ \frac{\bar{b}}{12 η^{3}} (\frac{\partial^{2} φ}{\partial {\bar{x}}^{2}} - α^{2} {\bar{c}}_{n, 11} \frac{\partial^{4} φ}{\partial {\bar{x}}^{4}}) = 0 \end{matrix}

(26)

2 简支CNTRCs梁的弯曲和屈曲响应求解

2.1 弯曲响应求解

对于CNTRCs梁的弯曲问题，其长度方向受到均布载荷

\bar{q}

且载荷方向平行于z轴，即

f = \bar{N} = \bar{V} = \bar{M} = 0

；此外，由式（24）可知

\bar{u} （ \bar{x} ） = 0

恒成立。

由式（20）可得简支CNTRCs梁的边界条件为

\{\begin{matrix} {\bar{w}|}_{\bar{x} = 0} = {\bar{w}|}_{\bar{x} = 1} = 0 \\ {M|}_{\bar{x} = 0} = {M|}_{\bar{x} = 1} = 0 \\ {\bar{u}|}_{\bar{x} = 0} = {\bar{u}|}_{\bar{x} = 1} = 0 \end{matrix}

(27)

可将式（25）和式（26）的解写为傅里叶级数的形式：

\bar{w} (\bar{x}) = \sum_{n = 1}^{\infty} W_{n} s i n (β \bar{x})

(28)

φ (\bar{x}) = \sum_{n = 1}^{\infty} Φ_{n} c o s (β \bar{x})

(29)

其中：Φ_n和W_n为傅里叶系数；β=nπ。

同样地，可将均布载荷

\bar{q} （ \bar{x} ）

表示为

\bar{q} (\bar{x}) = \sum_{n = 1}^{\infty} Q_{n} s i n (β \bar{x})

(30)

式中，Q_n为傅里叶系数，其表达式^[33]为

Q_{n} = \frac{2 q_{0}}{β L c_{11}} [1 - c o s (n π)]

(31)

将式（28）~（30）代入式（25）和式（26），可得

(32)

式中：上标“d”表示CNTRCs梁的弯曲问题；且有

\{\begin{matrix} D_{11}^{d} = - \frac{\bar{b} β^{2}}{η} f_{1} \\ D_{12}^{d} = D_{21}^{d} = \frac{\bar{b} β}{η} f_{1} \\ D_{22}^{d} = - \frac{\bar{b}}{η} (f_{1} + \frac{β^{2}}{12 η^{2}} f_{2}) \\ M_{11} = f_{3} \end{matrix}

(33)

其中，

\{\begin{matrix} f_{1} = k {\bar{c}}_{13} + α^{2} β^{2} {\bar{c}}_{n, 13} \\ f_{2} = 1 + α^{2} β^{2} {\bar{c}}_{n, 11} \\ f_{3} = 1 + α^{2} β^{2} \end{matrix}

(34)

通过求解式（32），可得

W_{n} = \frac{η Q_{n} f_{3} (β^{2} f_{2} + 12 η^{2} f_{1})}{\bar{b} β^{4} f_{2} f_{1}}

(35)

Φ_{n} = \frac{12 η^{3} Q_{n} f_{3}}{\bar{b} β^{3} f_{2}}

(36)

将式（35）和式（36）代入式（28）和式（29），可得CNTRCs梁不同位置上的挠度和转角。

2.2 屈曲响应求解

对于CNTRCs梁的屈曲问题，其受到轴向压力

\bar{N}

的作用，即

f = q = \bar{V} = \bar{M} = 0

。CNTRCs梁屈曲问题的微分方程可表示为

(37)

式中：上标“k”表示CNTRCs梁的屈曲问题；且有

\{\begin{matrix} D_{11}^{k} = β^{2} {\bar{N}}_{n d} f_{3} - \frac{\bar{b} β^{2}}{η} f_{1} \\ D_{12}^{k} = D_{21}^{k} = \frac{\bar{b} β}{η} f_{1} \\ D_{22}^{k} = - \frac{\bar{b}}{η} (f_{1} + \frac{β^{2}}{12 η^{2}} f_{2}) \end{matrix}

(38)

通过求解式（37），可得

{\bar{N}}_{nd} (β) = \frac{\bar{b} f_{1} f_{2} β^{2}}{η f_{3} (f_{2} β^{2} + 12 η f_{1})}

(39)

式（39）中的最小值表示CNTRCs梁的极限屈曲载荷。

2.3 数值求解及验证

本小节中将上述模型与文献中结果进行对比以验证模型和求解方法的正确性。

由式（28）和式（29）可以看出，弯曲和屈曲响应求解的精确度受求和项n的影响。表1所示为不同的求和项n对应的CNTRCs梁中点的挠度和端面的转角，由表1可以看出式（28）和式（29）收敛。此外，当求和项n取90时，CNTRCs梁挠度和转角的解具有足够的精度，因此在后续的分析中取求和项n=90。

表1不同求和项n对应的CNTRCs梁中点的挠度和端面的转角

Tab.1 Deflection of midpoint and rotation of end face of CNTRCs beam corresponding to different summation term n

Şimşek等^[34]和Aydogdu^[35]得到了CNTRCs Timoshenko梁的弯曲和屈曲响应并分析了相关参数的影响，但均未考虑CNTs尺度效应的影响。当尺度效应参数α=0时，本文所建模型可退化为文献^[34]和文献^[35]中的CNTRCs Timoshenko梁模型。表2和表3所示分别为均布载荷下CNTRCs梁中点的无量纲挠度

{\bar{w}}_{ref}

和轴向载荷下CNTRCs梁的无量纲极限屈曲载荷

{\bar{N}}_{r e f}

。其中，无量纲挠度和无量纲极限屈曲载荷的表达式为

\{\begin{matrix} {\bar{w}}_{ref} = \frac{100 w E_{m} I}{q_{0} L^{4}} \\ {\bar{N}}_{r e f} = {\bar{N}}_{c r i} \frac{L^{2}}{E_{m} I} \end{matrix}

(40)

其中：w为CNTRCs梁中点的挠度；q₀为均布载荷；E_m为CNTRCs的模量；

{\bar{N}}_{c r i}

为CNTRCs梁的极限屈曲载荷，由于对参数进行无量纲化处理，其具体数值不影响最终结果。

表2均布载荷下CNTRCs梁中点的无量纲挠度

Tab.2 Dimensionless deflection at midpoint of CNTRCs beams under uniform load

表3轴向载荷下CNTRCs梁的无量纲极限屈曲载荷

Tab.3 Dimensionless limit buckling load of CNTRCs beams under axial load

由表2和表3可知，本文研究求解的弯曲和屈曲响应与文献^[34-35]中解最大相对误差绝对值分别为0.846 8%和0.858 4%，足以说明本文所建模型和求解方法的正确性。

3 参数对简支CNTRCs梁弯曲、屈曲响应的影响分析

本节分析长细比、尺度效应参数和CNTs的体积分数等因素对CNTRCs梁弯曲和屈曲响应的影响规律。基体选用聚苯乙烯树脂^[31]，其弹性模量E_m和泊松比ν_m分别为1.9 GPa和0.3。CNTs的物理参数^[31]为：n_r=450 GPa，k_r=30 GPa，m_r=p_r=1 GPa，l_r=10 GPa；此外，如无特别说明取CNTs体积分数为0.1。CNTRCs梁的长L、宽b和高h分别为1 m、0.2 m和0.2 m；均布载荷q₀=-100 kN/m。

结果的合理性较大程度上取决于尺度效应参数的选取，尺度效应参数的数值可通过将理论计算结果与实验、分子动力学仿真结果进行匹配确定，其数值受到载荷、工况和结构形状等因素的耦合影响^[36]。目前国内外学者研究结构的尺度效应时，较多分析其选取不同数值时对结构力学响应的影响，此处参考前人的研究^[37]，取尺度效应参数α=0.1。

3.1 体积分数的影响

图3所示为CNTs的体积分数对CNTRCs梁中点挠度比和端面转角比的影响曲线，其中w₀和φ₀分别表示CNTs的体积分数为0时CNTRCs梁中点的挠度和端面的转角。

由于在聚苯乙烯树脂基体中加入CNTs后，材料的等效刚度得到增强，因此图3（a）中CNTRCs梁中点的挠度随CNTs体积分数的增大近似呈线性减小，且最大减幅达到了12.93%（η=4，α=0）。由图3（a）还可以看出，CNTRCs梁中点挠度比随尺度效应参数α的增大而明显增大，表明考虑CNTs的尺度效应后会降低CNTRCs梁的等效刚度，为了建立CNTRCs结构的精确力学模型，有必要考虑CNTs尺度效应的影响。根据式（35）可知，CNTRCs梁最大挠度正比于η³且反比于其模量，因此当长细比η增加时，挠度比w/w₀的下降幅度增大，同时表明了CNTs体积分数对大长细比CNTRCs梁弯曲响应的影响幅度较大。

图3CNTs体积分数的影响曲线

Fig.3Influence curve of CNTs volume fraction

由图3（b）可以看出，CNTRCs梁端面的转角比同样随CNTs体积分数的增大近似呈线性减小。图3（b）中α=0.1时，η=4、η=6和η=8的曲线重合，是由于转角比与长细比η无关（见式（36）），即相同尺度参数下，不同长细比CNTRCs梁端面的转角比变化曲线具有相同的变化趋势。

图4所示为CNTRCs梁的极限屈曲载荷随CNTs体积分数的变化曲线，其中

{\bar{N}}_{c r i 0}

表示横轴变量为0时梁的极限屈曲载荷。由图4可以看出，CNTRCs梁的极限屈曲载荷随CNTs体积分数的增加近似呈线性增大，但随尺度效应参数α的增大而减小。综合图3和图4可知，CNTs的体积分数对大长细比CNTRCs梁的弯曲响应和极限屈曲载荷的影响幅度较大。

图4CNTRCs梁极限屈曲载荷随CNTs 体积分数的变化曲线

Fig.4Variation curves of limit buckling load of CNTRCs beams with CNTs volume fraction

3.2 尺度效应参数和长细比的影响

图5所示为CNTRCs梁中点的挠度比随尺度效应参数α和长细比η的变化曲线，其中w₀为横坐标值为0时对应的CNTRCs梁中点的挠度。由图5可以看出，CNTRCs梁中点的挠度比随尺度效应参数和长细比的增大而增大，且增大速度逐渐加快。不同长细比下，当尺度效应参数从0增至0.2时，中点挠度比的最小增幅为5.650%（η=4），最大增幅为6.752%（η=8）。不同尺度效应参数下，长细比对中点挠度比的影响曲线相差较小，但仍可以看出：尺度效应参数对大长细比CNTRCs梁弯曲响应的影响幅度较大。

图5CNTRCs梁中点挠度比的变化曲线

Fig.5Variation curves of deflection ratio at midpoint of CNTRCs beam

图6所示为CNTRCs梁的极限屈曲载荷比随尺度效应参数α和长细比η的变化曲线。由图6可以看出，CNTRCs梁的极限屈曲载荷比随尺度效应参数和长细比的增大而减小，且减小速度随尺度效应参数的增大而增加但随长细比的增大而减小。

图6CNTRCs梁的极限屈曲载荷比的变化曲线

Fig.6Variation curves of ultimate buckling load ratio of CNTRCs beam

此外，对于不同的长细比，当尺度效应参数从0增至0.2时，极限屈曲载荷的最小减幅和最大减幅分别为2.284%（η=4）和3.139%（η=8）；不同尺度效应参数下，长细比对极限屈曲载荷的影响幅度基本相同。综合图5和图6可知，尺度效应参数对大长细比CNTRCs梁的弯曲响应和极限屈曲载荷的影响幅度较大。

4 结论

首先考虑CNTs的尺度效应建立了CNTRCs宏观结构力学行为分析的非局部EMT本构模型，在此基础上，运用Timoshenko梁模型和哈密顿原理建立了CNTRCs梁的静力学微分方程和边界条件，并求解了简支CNTRCs梁的弯曲和屈曲响应。通过与文献结果进行对比验证了所建模型和求解方法的正确性。最后分析CNTs的体积分数、尺度效应参数和复合材料梁的长细比对简支CNTRCs梁弯曲和屈曲响应的影响规律，主要结论如下：

1）基体中加入CNTs可提高结构等效刚度，但当考虑CNTs的尺度效应时会削弱结构等效刚度。

2）CNTRCs梁的挠度比随尺度效应参数和长细比的增大而增大，且增大速度逐渐加快；其极限屈曲载荷随尺度效应参数和长细比的增大而减小，且减小速度随尺度效应参数的增大而增加但随长细比的增大而减小。

3）CNTs体积分数和尺度效应参数对大长细比CNTRCs梁的弯曲响应和极限屈曲载荷的影响幅度较大；此外，CNTRCs梁的端面转角比不受长细比的影响。

图1CNTRCs梁及其RVE模型

Fig.1CNTRCs beam and its RVE model

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图2CNTRCs梁的几何模型

Fig.2Geometric model of CNTRCs beam

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图3CNTs体积分数的影响曲线

Fig.3Influence curve of CNTs volume fraction

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图4CNTRCs梁极限屈曲载荷随CNTs 体积分数的变化曲线

Fig.4Variation curves of limit buckling load of CNTRCs beams with CNTs volume fraction

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图5CNTRCs梁中点挠度比的变化曲线

Fig.5Variation curves of deflection ratio at midpoint of CNTRCs beam

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图6CNTRCs梁的极限屈曲载荷比的变化曲线

Fig.6Variation curves of ultimate buckling load ratio of CNTRCs beam

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表1不同求和项n对应的CNTRCs梁中点的挠度和端面的转角

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表2均布载荷下CNTRCs梁中点的无量纲挠度

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表3轴向载荷下CNTRCs梁的无量纲极限屈曲载荷

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图1CNTRCs梁及其RVE模型

Fig.1CNTRCs beam and its RVE model

图2CNTRCs梁的几何模型

Fig.2Geometric model of CNTRCs beam

图3CNTs体积分数的影响曲线

Fig.3Influence curve of CNTs volume fraction

图4CNTRCs梁极限屈曲载荷随CNTs 体积分数的变化曲线

Fig.4Variation curves of limit buckling load of CNTRCs beams with CNTs volume fraction

图5CNTRCs梁中点挠度比的变化曲线

Fig.5Variation curves of deflection ratio at midpoint of CNTRCs beam

图6CNTRCs梁的极限屈曲载荷比的变化曲线

Fig.6Variation curves of ultimate buckling load ratio of CNTRCs beam

表1不同求和项n对应的CNTRCs梁中点的挠度和端面的转角

表2均布载荷下CNTRCs梁中点的无量纲挠度

表3轴向载荷下CNTRCs梁的无量纲极限屈曲载荷

图1CNTRCs梁及其RVE模型

Fig.1CNTRCs beam and its RVE model

图2CNTRCs梁的几何模型

Fig.2Geometric model of CNTRCs beam

图3CNTs体积分数的影响曲线

Fig.3Influence curve of CNTs volume fraction

图4CNTRCs梁极限屈曲载荷随CNTs 体积分数的变化曲线

Fig.4Variation curves of limit buckling load of CNTRCs beams with CNTs volume fraction

图5CNTRCs梁中点挠度比的变化曲线

Fig.5Variation curves of deflection ratio at midpoint of CNTRCs beam

图6CNTRCs梁的极限屈曲载荷比的变化曲线

Fig.6Variation curves of ultimate buckling load ratio of CNTRCs beam

表1不同求和项n对应的CNTRCs梁中点的挠度和端面的转角

表2均布载荷下CNTRCs梁中点的无量纲挠度

表3轴向载荷下CNTRCs梁的无量纲极限屈曲载荷

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1 CNTRCs Timoshenko梁静力学建模

2 简支CNTRCs梁的弯曲和屈曲响应求解

3 参数对简支CNTRCs梁弯曲、屈曲响应的影响分析

4 结论