电动缸举升机构伺服性能的亚全局并行优化设计

万子平; 谢馨; 任广安; 郑杰基; 范大鹏; WAN Ziping; XIE Xin; REN Guang′an; ZHENG Jieji; FAN Dapeng

doi: 10.11887/j.cn.202405008

万子平，谢馨，任广安，郑杰基，范大鹏

国防科技大学智能科学学院, 湖南长沙 410073

基金项目: 国家重点研发计划资助项目(2019YFB2004700）；国家自然科学基金资助项目(52105077)

详细信息

作者简介

万子平(1990—)，男，湖南衡阳人，博士研究生，E-mail: wanziping15@163.com

通讯作者

范大鹏(1964—)，男，河南周口人，教授，博士，博士生导师，E-mail: fdp@nudt.edu.cn

中图分类号: TH112

文献标识码: A

文章编号: 1001-2486(2024)05-065-14

Sub-global parallel optimization design of servo performance of electric cylinder lifting mechanism

WAN Ziping ， XIE Xin ， REN Guang′an ， ZHENG Jieji ， FAN Dapeng

College of Intelligence Science and Technology, National University of Defense Technology, Changsha 410073 , China

摘要

针对电动缸举升伺服机构的非线性环节对武器站伺服性能的影响，基于应用背景开展了伺服性能优化方法的研究。针对可设计非线性环节中的增益波动、间隙宽度、不平衡力矩和摩擦力矩进行了作用机理分析；基于机构布局和控制器参数建立了运动学、动力学和控制策略的数学模型、设计约束和目标优化函数；提出了亚全局并行优化方法，对可设计非线性环节进行了基于内点法的多目标优化，解决了局部串行优化的局部最优问题；对基于PI控制器+DOB观测器的复合控制策略进行了单独设计，解决了机械惯量参数、控制器参数和观测器名义模型不匹配的问题。经验证，亚全局并行优化方法的优化结果在整体上更佳，且更加贴合工程实际。

关键词

可设计非线性环节 / 机构布局 / 复合控制策略 / 亚全局并行优化方法

Abstract

Aiming at the influence of the nonlinear part of the electric cylinder lifting servo mechanism on the servo performance of the weapon station, the optimization method of servo performance was studied based on the application background. The mechanism of gain fluctuation, gap width, unbalanced moment, and friction moment in the designable nonlinear part was analyzed. The mathematical models, design constraints, and objective optimization functions of kinematics, dynamics, and control strategies were established based on the mechanism layout and controller parameters. A sub-global parallel optimization method was proposed. The multi-objective optimization based on the interior point method was carried out for the designable nonlinear part, and the local optimization problem of local serial optimization was solved. The composite control strategy based on PI controller + DOB observer was designed separately, and the mismatch between the mechanical inertia parameters, controller parameters, and observer nominal model was solved. It is verified that the optimization results of the sub-global parallel optimization method are better on the whole and more in line with the engineering practice.

Keywords

designable nonlinear part / mechanism layout / compound control strategy / sub-global parallel optimization method

1 非线性机理分析 1.1 运动学非线性环节作用机理 1.1.1 非线性传动比作用机理 1.1.2 间隙作用机理 1.2 动力学非线性环节作用机理 1.2.1 不平衡力矩作用机理 1.2.2 摩擦力矩作用机理 2 亚全局并行优化设计 2.1 运动学优化设计 2.1.1 运动学数学模型 2.1.2 运动学设计约束 2.1.3 运动学优化目标 2.2 动力学优化设计 2.2.1 动力学数学模型 2.2.2 动力学设计约束 2.2.3 动力学优化目标 2.3 控制策略学优化设计 2.3.1 控制策略数学模型 2.3.2 控制策略内部约束 2.3.3 控制策略优化目标 3 优化结果的分析与比较 3.1 多目标优化算法设定 3.2 非线性优化效果分析 3.3 伺服特性优化效果分析 4 结论

举升机构多应用于自卸车、雷达和火炮等非高精度伺服设备中。其难以实现高精度伺服的原因是举升机构比回转机构的运动副数量多，这不仅会引入更多的静态传动误差降低系统的传动精度，同时会引入更多的非线性动态误差减低系统的控制性能。大长径比和大负载高精度武器的逐渐出现，如14.5 mm高射机枪、电磁炮等，使得对举升伺服机构的研究成为必要，因为在遥控武器站俯仰伺服系统中，举升机构可增加系统受力的均匀性^[1]和减少传动链分布的集中性。

多副机构的引入使得伺服性能的设计关联因素增多，现有的研究多基于目标、方式和流程展开优化，下面进行对应的分析阐述。

基于目标的优化主要方向为机械结构、功能指标和可靠度。机械结构^[2-3]的优化目标多为零部件的刚度和模态，它们使系统获得较高的机械谐振频率，避免伺服运行和载体扰动带来的共振问题。而武器站系统中，机械结构设计属于前端设计，设计后的固有频率一般在90 Hz以上，而机构传动链的固有频率基本在60 Hz以下，所以机械结构的优化对系统伺服性能的优化不起主要作用。功能指标^[4-7]的优化目标多为机构的输出力矩（推力）和功率，它们使系统的应用范围更广和服役环境的适应性更好。而武器站系统中，关注的不仅是系统的力矩（推力）和功率，更多的是系统稳定精度和伺服带宽，所以仅考虑力矩（推力）和功率的优化是局限的。可靠度^[8-9] 的优化目标多为系统的运行稳健性和时域不变性，通过将机构的不确定性引入模型，并对关联参数进行优化，使得系统运行得更安全、更长久。而武器站系统的验收标准现多为射击精度、伺服带宽等功能指标，所以可靠度并非是伺服性能优化的关键指标。由此可知，武器站的优化目标应主要与功能指标相关，且在考虑伺服带宽的基础上，引入与射击精度相关的各项可优化参数，使得系统的伺服性能优化更有效且更全面。

基于方式的优化主要指机构的优化工具，主要为各类虚拟设计平台^[10-11]（ANSYS和Adams等），该方法主要通过各类可视化图形软件对模型进行虚拟构建，并对机械结构赋予材料特性（杨氏模量、泊松比等），对运动副赋予非线性因数（间隙宽度、摩擦力矩等），从而进行精确建模。此类方法主要通过优化后的仿真对模型优化效果进行迭代验证，隐藏了优化设计所需的解析形式，所以多用于验证分析。由此可知，应明确参数与优化效果间的关系，从而进行高效的优化设计。

基于流程的优化主要是指机构的优化步骤，主要分为串、并行优化^[12-14]，主要基于运动学、动力学和控制策略三个层面展开。串行优化是基于上一层的优化参数对下一层的参数展开优化，而并行优化是将三个层面的参数统一到同一量级下进行整体优化。串行优化虽然存在优化不全面、步骤多的问题，但思路较为简单。并行优化虽然优化全面，但是忽略了传动链的加工装配特性，省略了建模所需测试与辨识，易导致设计的控制参数无实用价值。由此可知，应兼顾串行优化和并行优化的各自优势，达到最优的设计效果。

基于上述分析，本文提出一种基于功能指标的亚全局并行优化方法，在明确机构构型，负载特性和非线性作用机理的基础上对伺服机构进行全面有效的优化，并对比了局部串行和全局并行优化的设计结果，验证了本文方法的有效性。

1 非线性机理分析

举升机构形式多样，依据最简运动副设计原则（运动副数量最小化，运动高副数量最小化），本文研究对象为直推式举升机构，其构型如图1所示。

图1直推式举升机构

Fig.1Direct push lifting mechanism

本文以电动缸为驱动部件实现举升机构的高精度伺服，其系统组成及其包括的可设计和非可设计非线性环节如图2所示。图1和图2中的参数在1.1节和1.2节进行介绍。

图2电动缸举升伺服机构的非线性环节

Fig.2Nonlinear sector of electric cylinder lifting servo mechanism

图2中，G（θ_BAC）和F（θ_BAC）分别为输出转角θ_BAC的幅值增益和输出频率。由图2可知，可设计非线性环节来源于举升机构机械构型，和机构布局相关；非可设计非线性环节来源于电机、电动缸组件、负载和传感器，和部件固有特性相关。由于在武器站伺服系统中的电流环响应时间比速度环响应时间至少小两个数量级，可将电流环等效为比例环节。输入指令电压U_a到电机输出转矩T_m的比例环节增益为电机的电压转矩系数K_T=K_IK_M=（1/R_a）K_M，其中K_I为电流系数，K_M为力矩系数，R_a为电机电枢电阻，而电感系数L_a的影响可以被忽略。

1.1 运动学非线性环节作用机理

1.1.1 非线性传动比作用机理

非线性传动比导致了举升机构输入扭矩到输出扭矩的非线性关系。利用功率守恒定律，可求解出电机输入力矩到机构输出转矩的函数关系为

\{\begin{matrix} P = T_{m} ω_{m} = F_{B C} v_{B C} = T_{L} ω_{L} \\ F_{B C} = T_{m} (\frac{2 π}{d}) \\ T_{L} = \frac{F_{B C} L_{A C} L_{A B} s i n (θ_{B A C})}{L_{B C}} \end{matrix}

(1)

其中，F_BC和v_BC分别为电动缸推力和线速度，T_L和ω_L分别为负载转矩和角速度，ω_m为电机角速度，d为电动缸导程，其余参数如图1所示。

非线性传动比在模型中可以等效为随负载转角θ_BAC变化的比例增益，举升机构的传动角θ_ABC的变化范围为（0，π），当θ_ABC为π/2时，其增益最大，当θ_ABC趋近于0时，其增益也趋近于0。非线性传动比比例增益取值范围为

\{\begin{matrix} m i n [G_{N} (s)] = m i n [G (s)_{m a x (θ_{B A C})}, G (s)_{m i n (θ_{B A C})}] \\ m a x [G_{N} (s)] = \frac{2 π L_{A B}}{d} \\ θ_{B A C} \in (0, π) \end{matrix}

(2)

其中，G_N（s）为非线性传动比比例增益，

G （ s ）_{m a x (θ_{B A C})}

为θ_BAC最大时的增益，

G （ s ）_{m i n (θ_{B A C})}

为θ_BAC最小时的增益。L_AB决定了其最大增益。

非线性传动比比例增益会造成闭环系统下增益波动，非线性越显著，增益波动越大。为考虑增益波动对闭环特性的影响，在此建立速度环框图和传递函数分别如图3和式（3）所示。

图3包含非线性传动比的速度环

Fig.3Speed loop with nonlinear transmission ratio

图3中，ω_cmd为负载转速指令，K_T为电压转矩系数，K_p和K_i为比例-积分（proportional-integral，PI）控制器比例系数和积分系数，J_L为负载惯量。由式（2）可知，在传动范围内存在非线性传动比比例增益峰值，为满足系统闭环稳定性，PI控制器应采用增益波动峰值进行设计，所以在其余传动范围内，系统的闭环增益会减小。

\frac{ω_{L} (s)}{ω_{c m d} (s)} = 1 - \frac{1}{1 + K_{T} (K_{p} + \frac{K_{i}}{s}) (\frac{1}{J_{L} s}) G_{N} (s)}

(3)

式中，ω_L（s）/ω_cmd（s）会随着G_N（s）的减小而减小，从而影响系统的伺服带宽和伺服精度。虽然针对非线性传动比，又提出了各类自适应控制器，但是这不仅增加了设计复杂度，而且会引入参数切换时的抖振现象。

1.1.2 间隙作用机理

间隙导致了举升机构运动和扭矩间传递的不连续性。利用死区模型表达输出力矩和传动刚度间的关系。为弥补死区函数的不连续性，采用基于Sigmoid函数的近似死区函数对间隙模型进行描述，其为

\{\begin{matrix} T_{L}^{-} = K_{s} (Δ θ_{B A C} - 4 θ_{gap} \frac{1 - e^{- r Δ θ_{B A C}}}{1 + e^{- r Δ θ_{B A C}}}) \\ Δ θ_{B A C} = θ_{B A C} - a r c c o s (\frac{L_{A C}^{2} + L_{A B}^{2} - L_{B C}^{2}}{2 L_{A C} L_{A B}}) \\ r = \frac{1}{2 θ_{gap}} \\ L_{B C} = \frac{θ_{m} d}{2 π} + L_{B C 0} \end{matrix}

(4)

其中，

T_{L}^{-}

为机构输出力矩（不包括驱动电机转子驱动力矩），θ_gap为负载传动间隙宽度，K_s为传动刚度，L_BC₀为L_BC的初始长度，θ_m为电机输出转角。

假设系统中不含间隙，将间隙和实际传动刚度转化为等效传动刚度K_eq（忽略与间隙边界的碰撞），则等效传动刚度和实际传动刚度的刚度差为

Δ k = K_{s} - K_{eq} = \frac{T_{L}}{Δ θ_{B A C} - 4 θ_{gap} \frac{1 - e^{- r Δ θ_{B A C}}}{1 + e^{- r Δ θ_{B A C}}}} - \frac{T_{L}}{Δ θ_{B A C}} > 0

(5)

由式（5）可知，含有间隙的等效传动刚度会小于系统的实际传动刚度。由等效传动刚度建立起举升机构的双惯量等效模型，如图4所示。

图4包含等效刚度的双惯量模型

Fig.4Double inertia model with equivalent stiffness

由图4和梅森公式推导出包含等效刚度的举升机构输入力矩到输出转速的传递函数，如式（6）所示。

\{\begin{matrix} \frac{ω_{L} (s)}{T_{m} (s)} = \frac{1}{[J_{m} + J_{L} / G_{N}^{2} (s)] [1 + (s^{2} / ω_{n}^{2})] s} \\ ω_{n} = \sqrt{\frac{k_{e q} [J_{m} + J_{L} / G_{N}^{2} (s)]}{J_{m} J_{L}}} \end{matrix}

(6)

其中，传动链谐振频率ω_n和等效刚度K_eq成正相关，所以间隙会引起类幅值响应衰减。在速度闭环下，间隙会引起控制器的过度补偿，从而引起自激振荡环影响举升机构伺服精度。

从传动误差来看，间隙会引入开环下的滞回现象，其滞回量大小为

Δ θ_{B A C} = |θ_{B A C} - a r c c o s (\frac{L_{A C}^{2} + L_{A B}^{2} - L_{B C}^{2}}{2 L_{A C} L_{A B}})| = |θ_{gap}|

(7)

由式（7）可知，滞回量越大，传动误差越大。

1.2 动力学非线性环节作用机理

1.2.1 不平衡力矩作用机理

不平衡力矩导致举升机构的输入扭矩在闭环下会叠加偏置力矩，利用力矩平衡原理，可将其表示为与负载转角θ_BAC相关的偏置力矩。

M_{g} = F_{g} L_{A G} c o s (θ_{C A X})

(8)

式中，F_g为负载重力，L_AG为负载力臂，θ_CAX为负载和水平线的夹角。

建立包含不平衡力矩的举升机构模型，如图5所示。

图5含有不平衡力矩的举升机构模型

Fig.5Lifting mechanism model with unbalance torque

电动缸推重比一般大于20，所以电动缸重力会小于负载的5%，可忽略其对伺服性能的影响，由图5建立电压到负载转速的传递函数：

\frac{ω_{L} (s)}{U_{a} (s)} = \frac{K_{T} G_{N} (s)}{J_{L} s} - \frac{F_{g} L_{A G} s i n (θ_{C A X})}{J_{L} s U_{a} (s)}

(9)

在有限转角内，负载转角范围为

\{\begin{matrix} θ_{C A X} \in (- 15^{\circ}, 50^{\circ}) \\ s i n (θ_{C A X}) > 0 \end{matrix}

(10)

由式（9）和式（10）可知，不平衡力矩不存在换向可能。在暂态特性上，不平衡力矩会造成闭环下启动补偿阶段的“倒刺现象”，从而影响伺服精度。在稳态特性上，不平衡力矩会造成伺服带宽上限减小，从而影响高频伺服精度。结合图3和图5可得不平衡力矩到速度环输出的传递函数，如式（11）所示。

\frac{ω_{L} (s)}{F_{g} (s)} = \frac{1}{J_{L} s + (K_{p} s + K_{i}) K_{T} G_{N} (s)}

(11)

由式（11）可知，非线性传动比增益越大，不平衡力矩对系统的影响越小。

1.2.2 摩擦力矩作用机理

摩擦导致了机构输入扭矩在速度换向时的阶跃响应。利用Stribeck模型表示摩擦力T_f。

\{\begin{matrix} T_{f} = T_{c} + T_{p} + T_{b} \\ T_{p} = (T_{s} - T_{c}) e^{- |ω / ω_{s}|} \\ T_{b} = b ω_{L} \end{matrix}

(12)

其中，T_c为库仑摩擦力，T_b为黏滞摩擦力，T_p为摩擦指数项，T_s为最大静摩擦力，b为黏滞摩擦系数，ω_s为速度常数。

建立系统包含摩擦的举升机构模型，如图6所示。

图6含有Stribeck摩擦的举升机构模型

Fig.6Lifting mechanism model with Stribeck friction

建立输入电压到负载的转速传递函数

\frac{ω_{L} (s)}{U_{a} (s)} = \frac{K_{T} G_{N} (s)}{J_{L} s + b} - \frac{s i g n [ω_{L} (t)]}{(J_{L} s + b) U_{a} (s)} (T_{c} + T_{p})

(13)

由式（13）可知，黏滞摩擦会影响机构的稳态响应，降低系统的伺服带宽。

为便于分析摩擦的暂态作用机理，将式（13）转化为带有机械时间常数的传递函数形式。

\{\begin{matrix} \frac{ω_{L} (s)}{U_{a} (s)} = \frac{K_{s m}}{T_{s m} s + 1} - \frac{K_{s m} R_{a} s i g n [ω_{L} (t)]}{(T_{s m} s + 1) K_{M} G_{N} (s) U_{a} (s)} (T_{c} + T_{p}) \\ K_{s m} = \frac{K_{T} G_{N} (s)}{b} \\ T_{s m} = \frac{J_{L}}{b} \end{matrix}

(14)

由式（12）可知，摩擦指数项和库仑摩擦项相关，在速度换向时会突变，所以可将Stribeck摩擦简化为等效为库仑摩擦和黏滞摩擦进行分析。

将库仑摩擦描述为单位阶跃激励，将黏滞摩擦描述为模型的阻尼系数，则库仑摩擦在速度反向时，机构产生的阶跃响应频域表达式为

ω_{C L} (s) = (\frac{T_{c}}{s}) \frac{ω_{L} (s)}{T_{c} (s)} = (\frac{T_{c}}{s}) \frac{1}{J_{L} s + b} = (\frac{T_{c}}{b}) \frac{1}{T_{s m} s^{2} + s}

(15)

对式（15）进行拉普拉斯反变换，可以得到机构在库仑摩擦下的阶跃响应时域函数表达式

ω_{C L} (t) = L^{- 1} [(\frac{T_{c}}{b}) \frac{1}{T_{s m} s^{2} + s}] = (\frac{T_{c}}{b}) (1 - e^{- \frac{t}{T_{s m}}})

(16)

由式（16）可知，库仑摩擦力T_c越大，对机构的暂态特性影响时间越大；机械时间常数T_sm越大，对机构的暂态特性影响时间越长。

2 亚全局并行优化设计

电动缸举升伺服机构的伺服性能体现在闭环下的机械模型和控制策略中。机械动力学模型的优化目标为弱化非线性环节，控制策略模型的优化目标为稳态下的积分时间乘绝对误差^[15]（integral of time multiplied by absolute error，ITAE）和暂态下的最大误差。机械和控制的协同优化是多目标优化的问题，方法基本可分为局部串行优化和全局并行优化^[12-14]。局部串行优化的不足是：伺服性能的设计没有全局的优化目标，其会陷入局部最优的情况，其设计流程如图7（a）所示。全局并行优化的不足是：缺少实际非线性参数的辨识，使得控制策略设计和机构特性不匹配，其设计流程如图7（b）所示。

本文所提的亚全局并行优化能有效解决局部最优问题，并可匹配机械控制特性。其所求最优解也更加贴合工程实际，其设计流程如图7（c）所示。

图7三种伺服性能优化方法

Fig.7Three servo performance optimization methods

2.1 运动学优化设计

2.1.1 运动学数学模型

在建立举升机构运动学数学模型时，为避免运动部件产生干涉，将原有的武器射界（-10°~45°）调整至（-15°~50°），则运动学坐标系如图8所示。

图8举升机构运动坐标系

Fig.8Motion coordinate system of lifting mechanism

由图8可知，运动学设计变量为负载铰点坐标A（x₀，y₀），电动缸上、下铰点坐标B（x₁，y₁）和C（x₂，y₂）。L_AB与水平线Y=y₀的夹角为θ_η，适配器轴线与水平线的夹角为θ_λ，L_AB与适配器轴线的夹角为θ_η-θ_λ。其中，θ_BAC₀为负载最大俯角时θ_BAC的值。

由图8中的坐标关系可得运动学数学模型：

\{\begin{matrix} L_{A C} = \sqrt{{(x_{0} - x_{2})}^{2} + {(y_{0} - y_{2})}^{2}} \\ L_{A B} = \sqrt{{(x_{0} - x_{1})}^{2} + {(y_{0} - y_{1})}^{2}} \\ L_{C B} = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} \\ L_{C B^{'}} = \sqrt{{(x_{2} - x_{B})}^{2} + {(y_{2} - y_{B})}^{2}} \\ Δ L_{C B} = L_{C B^{'}} - L_{C B} \\ x_{B} = x_{0} - L_{A B} c o s (Δ θ_{B A C} - θ_{η}) \\ y_{B} = y_{0} + L_{A B} s i n (Δ θ_{B A C} - θ_{η}) \\ θ_{η} = a r c t a n (\frac{x_{1} - x_{0}}{y_{1} - y_{0}}) \end{matrix}

(17)

其中，B′（x_B，y_B）为变化的铰点B的坐标，ΔL_CB为电动缸最大变化长度。

2.1.2 运动学设计约束

运动学设计约束包括空间约束和机构约束。

空间约束主要包括建造纵深H_max下的边界约束和相对位置约束，其为

\{\begin{matrix} y_{0} - y_{2} ⩽ H_{m a x} \\ y_{2} < y_{0} \end{matrix}

(18)

机构约束主要包括举升机构的电动缸约束、传动角约束和机构死点约束。

电动缸约束是电动缸机械特性，其为

\{\begin{matrix} L_{B^{'} C} - L_{B C} < L_{B C} - D_{s} \\ L_{B C} > D_{s} + L_{s} \\ L_{B^{'} C} < D_{s} + 2 L_{s} \end{matrix}

(19)

其中，电动缸行程为L_s，附件长度为D_s，电动缸的最短和最长长度分别为D_s+L_s和D_s+2L_s。

传动角约束为机构机械特性，其为

\{\begin{matrix} m i n (θ_{A B C}) ⩾ 10^{\circ} \times (π / 180^{\circ}) \\ θ_{A B C} = a r c c o s (\frac{L_{A B}^{2} + L_{B C}^{2} - L_{A C}^{2}}{2 L_{A B} L_{B C}}) \\ θ_{A B^{'} C} = a r c c o s (\frac{L_{A B}^{2} + L_{B^{'} C}^{2} - L_{A C}^{2}}{2 L_{A B} L_{B^{'} C}}) \end{matrix}

(20)

机构死点约束为机构机械特性，其为

\{\begin{matrix} L_{B^{'} C} ⩽ L_{A C} + L_{A B^{'}} \\ L_{A C} ⩽ L_{A B} + L_{B C} \end{matrix}

(21)

死点约束是保证举升机构L_AB与L_AC不共线。

2.1.3 运动学优化目标

运动学优化目标为增益波动和间隙宽度最小。

设定增益波动目标函数为

\{\begin{matrix} f_{1} (Δ θ_{B A C}) = m i n \{m a x [G_{N} (s)] - m i n [G_{N} (s)]\} \\ G_{N} (s) = \frac{2 π L_{A C} L_{A B} s i n (θ_{B A C 0} + Δ θ_{B A C})}{d L_{B C}} \\ Δ θ_{B A C} \in (0^{\circ}, 65^{\circ}) \end{matrix}

(22)

电动缸举升伺服机构的传动间隙只出现在电动缸的直线进给方向，其为铰链A、铰链B和电动缸传动间隙的总和。直线进给方向间隙宽度L_gap与负载转角间隙宽度θ_gap的对应关系如图9所示。

图9直线间隙宽度与转角间隙宽度的对应关系

Fig.9Relationship between linear gap width &corner gap width

由近似等效和正弦定理，可得其对应关系为

\{\begin{matrix} \frac{L_{gap}}{\sin (θ_{gap})} = \frac{L_{A B}}{\sin (θ_{A B C})}, L_{gap} \to 0 \\ \frac{L_{A C}}{\sin (θ_{A B C})} = \frac{L_{B C}}{\sin (θ_{B A C})} \end{matrix}

(23)

基于上述分析，间隙转化率目标函数为

\{\begin{matrix} f_{2} (Δ θ_{B A C}) = m i n [(\int_{0}^{65} θ_{gap} d θ_{B A C}) / 65] \\ θ_{gap} = a r c s i n [\frac{L_{A C} L_{gap} s i n (θ_{B A C 0} + Δ θ_{B A C})}{L_{A B} L_{B C}}] \\ Δ θ_{B A C} \in (0^{\circ}, 65^{\circ}) \end{matrix}

(24)

由式（24）可知，间隙转化率与L_AB呈负相关。

2.2 动力学优化设计

2.2.1 动力学数学模型

在建立举升机构动力学数学模型时，需明确影响其伺服性能的负载特性，其负载主要分为后坐力矩、不平衡力矩、惯性力矩和摩擦力矩。其中，后坐力矩在构型确定后为常值力矩。动力学坐标系如图10所示。

由图10可知，动力学设计变量为负载铰点坐标A（x₀，y₀），负载重心坐标G（x₄，y₄），负载包络后、前端点坐标D（x₃，y₃）和E（x₅，y₅），H_max为举升机构的限高线，Δθ_BAC为变化的武器射界，L_G_*为重心到适配器轴线的距离，L_A_*为铰点A到火线的距离。

图10举升机构动力坐标系

Fig.10Dynamic coordinate system of lifting mechanism

由图10中的坐标关系可得动力学数学模型为

\{\begin{matrix} L_{A D} = \sqrt{{(x_{0} - x_{3})}^{2} + {(y_{0} - y_{3})}^{2}} \\ L_{A G} = \sqrt{{(x_{0} - x_{4})}^{2} + {(y_{0} - y_{4})}^{2}} \\ L_{A E} = \sqrt{{(x_{0} - x_{5})}^{2} + {(y_{0} - y_{5})}^{2}} \\ (x_{D}, x_{E}) = x_{0} + (- L_{A D}, L_{A E}) \cdot c o s (Δ θ_{B A C} - θ_{γ}) \\ (y_{D}, y_{E}) = y_{0} + (- L_{A D}, L_{A E}) \cdot s i n (Δ θ_{B A C} - θ_{γ}) \\ x_{G} = x_{0} + L_{A G} c o s (Δ θ_{B A C} - θ_{γ} + θ_{G}) \\ y_{G} = y_{0} + L_{A G} s i n (Δ θ_{B A C} - θ_{γ} + θ_{G}) \\ θ_{γ} = a r c t a n (\frac{x_{5} - x_{0}}{y_{5} - y_{0}}) \end{matrix}

(25)

其中，D′（x_D，y_D）和E′（x_E，y_E）为变化的铰点D和E的坐标，G′（x_G，y_G）为变化的重心G的坐标。θ_γ为最大俯角时适配器轴线与水平线的夹角。

2.2.2 动力学设计约束

动力学设计约束包括俯仰边界约束和相对位置约束。俯仰边界约束要求负载在上下俯仰时不会触碰到载体边界，相对位置约束要求铰点A距离火线和重心的位置大于一定范围，其为

\{\begin{matrix} L_{A E} s i n (θ_{γ}) ⩽ H_{m a x} \\ L_{A D} s i n (Δ θ_{B A C} - θ_{γ}) ⩽ H_{m a x} \\ (L_{A G}, L_{A *}) ⩾ (L_{G *}, 0) \end{matrix}

(26)

2.2.3 动力学优化目标

动力学优化目标为不平衡力矩和摩擦力矩最小。

不平衡力矩的目标函数为

\{\begin{matrix} f_{3} (Δ θ_{B A C}) = m i n (\frac{\int_{0}^{65} T_{g} d θ_{B A C}}{55}) \\ T_{g} = F_{g} L_{A G} c o s (Δ θ_{B A C} - θ_{γ} + θ_{G}) \\ Δ θ_{B A C} \in (0^{\circ}, 65^{\circ}) \end{matrix}

(27)

其中， T_g为不平衡力矩。

电动缸举升机构的所有运动副在运动过程中均会产出摩擦力，其中包括铰链A、铰链B和铰链C的摩擦转矩（T_f_A、T_f_B和T_f_C），以及滚珠丝杠的摩擦阻力F_f_BC。机构摩擦力分布如图11所示。

图11举升机构摩擦力分布

Fig.11Friction distribution of lifting mechanism

图11中，W_g为重力力臂，W_BC为电动缸推力力臂。可求得电动缸的推力和力臂为

\{\begin{matrix} F_{B C} = \frac{T_{r} + T_{g} + T_{i}}{w_{B C}} \\ W_{B C} = \frac{|(\frac{y_{B} - y_{2}}{x_{2} - x_{B}}) x_{0} + y_{0} + y_{B} x_{2} - y_{2} x_{B}|}{\sqrt{1 + {(\frac{y_{B} - y_{2}}{x_{2} - x_{B}})}^{2}}} \end{matrix}

(28)

其中：T_r为后坐力矩，T_r=F_r×L_A_*；T_i为惯性力矩， T_i=（J+mL²_AG）α_BAC。

由电动缸推力可求解出各运动副的摩擦力。

\{\begin{matrix} (T_{f A}, T_{f B}, T_{f C}, F_{f B C}) = (ρ_{A} \sqrt{F_{A x}^{2} + F_{A y}^{2}}, ρ_{B} F_{B C}, ρ_{C} F_{B C}, μ_{B C} F_{B C}) \\ (F_{A x}, F_{A y}) = [F_{B C} c o s (θ_{B C X}), F_{g} - F_{B C} s i n (θ_{B C X})] \\ (ρ_{A}, ρ_{B}, ρ_{C}) = α_{p} (μ_{A} r_{A}, μ_{B} r_{B}, μ_{C} r_{C}), α_{p} \in [1, \frac{π}{2}] \end{matrix}

(29)

其中，参数（ρ_A，μ_A，r_A）、（ρ_B，μ_B，r_B）和（ρ_C，μ_C，r_C）分别为铰链A、铰链B和铰链C的摩擦圆半径、摩擦系数和轴承半径，α_p为摩擦力和压力的夹角。在举升机构中，铰链A一般为大半径滚珠轴承，铰链B和铰链C一般为小半径滚针轴承，经过计算可近似设定ρ=ρ_A=ρ_B=ρ_C。

将铰链B、铰链C及滚珠丝杠的摩擦力折算到铰链A处，可得铰链A处的总摩擦力为

T_{f} = T_{f A} + T_{f B} \frac{ω_{A B C}}{ω_{B A C}} + T_{f C} \frac{ω_{A C B}}{ω_{B A C}} + F_{f B C} G_{N} (s)

(30)

式中，ω_ABC、ω_ACB和ω_BAC分别为θ_ABC、θ_ACB和θ_BAC角速度大小，其运动学关系为

ω_{B A C} = ω_{A B C} + ω_{A C B}

(31)

将铰链摩擦合力分解成分力形式，再求和得

\{\begin{matrix} T_{f A} = [F_{B C} c o s (θ_{B C X}) - F_{B C} s i n (θ_{B C X}) + F_{g}] ρ \\ T_{f B} = T_{f C} = [F_{B C} c o s (θ_{B C X}) + F_{B C} s i n (θ_{B C X})] ρ \end{matrix}

(32)

结合式（31）和式（32）对式（30）进行近似简化，可得机构所有摩擦力折算到铰链A的总摩擦力为

\{\begin{matrix} T_{f A B C} = ρ [2 F_{B C} c o s (θ_{B C X}) + F_{g}] + μ_{B C} [F_{B C} G_{N} (s)] \\ c o s (θ_{B C X}) = {c o s}^{2} (θ_{A C X}) + \frac{s i n (θ_{B A C}) L_{A B}}{L_{B C}} \end{matrix}

(33)

由式（33）可知，机构总摩擦力和电动缸的输出推力F_BC成正相关。

基于上述分析，摩擦力的目标函数表述为

\{\begin{matrix} f_{4} (Δ θ_{B A C}) = m i n [\frac{\int_{0}^{65} T_{f A B C} d θ_{B A C}}{65}] \\ Δ θ_{B A C} \in (0^{\circ}, 65^{\circ}) \end{matrix}

(34)

2.3 控制策略学优化设计

2.3.1 控制策略数学模型

为实现高精度伺服，在此应用PI控制器结合扰动观测器（disturbance observer，DOB）的复合控制策略。PI作为稳态控制器，数学模型为K_p+K_i/s。DOB作为扰动观测器，数学模型为线性动力学模型的逆模型，主要考虑观测精度，而观测精度和名义模型精度相关。

2.3.2 控制策略内部约束

控制器没有设计方面的约束，但需要考虑交流伺服电机的输出力矩约束和电机的输出功率约束，如式（35）所示，因为其会引入一定饱和特性，影响控制效果。

\{\begin{matrix} U_{a} K_{T} (K_{p} + \frac{K_{i}}{s}) ⩽ m a x (T_{m}) \\ U_{a} K_{T} (K_{p} + \frac{K_{i}}{s}) G_{N} (s) ω_{L} ⩽ m a x (P_{m}) \end{matrix}

(35)

其中，P_m为电机输出功率。

DOB观测器同样没有设计方面的约束，但需要考虑低通滤波器的带宽设计要求和鲁棒性设计约束，分别如式（36）和式（37）所示。

F_{q} \in [m a x (F_{L}), m i n (F_{e n c})]

(36)

式中，F_L为伺服频率，F_enc为编码器噪声频率，F_q为滤波器截止频率。

{‖Q (s) [G_{s} (s) - G_{p} (s)]‖}_{\infty} ⩽ 1

(37)

式中，Q（s）为滤波器模型，G_s（s）为系统模型。

2.3.3 控制策略优化目标

控制器优化目标采用ITAE准则。该准则设计的系统暂态响应振荡小，控制参数适应性好。则优化目标函数为

\{\begin{matrix} f_{5} (Δ θ_{A B C}) = \int_{0}^{\infty} t |ω_{error} (t)| d t \\ ω_{error} (t) = ω_{cmd} (t) - ω_{L} (t) \end{matrix}

(38)

其中，ω_error为速度环误差。

3 优化结果的分析与比较

在现有样机上进行优化，实物如图12所示。

图12电动缸举升伺服机构样机

Fig.12Prototype of electric cylinder lifting servo mechanism

样机的常值参数见表1，非独立变量（及相关的独立变量）见表2。

3.1 多目标优化算法设定

多目标优化求解器选用MATLAB中的fmincon函数中的内点法求解器（interior-point）。相对于序列二次规划求解器和有效集求解器（active-set），其求解较为连续，有更高的收敛精度。

在设定总优化目标函数时，可通过线性加权法设定各个子目标函数的权重，权重的作用是将各目标函数调整到同一量级下进行综合优化。将亚全局并行优化的总目标优化函数设定为

f (Δ θ_{B A C}) = \sum_{i = 1}^{4} w_{i} f_{i} (Δ θ_{B A C}) + f_{5} (Δ θ_{B A C})

(39)

式中，w_i为目标函数权值，

\sum_{i = 1}^{4} w_{i} f_{i} (Δ θ_{B A C})

表示多目标协同优化目标函数，f₅（Δθ_BAC）为单独优化目标函数。在上述基础上，分别设定两个对照组，局部串行优化和全局并行优化，其目标函数分别为式（40）和式（41）。

表1样机常值参数

Tab.1 Constant parameters of prototype

f (Δ θ_{B A C}) = f_{1} (Δ θ_{B A C}) + f_{2} (Δ θ_{B A C}) + \dots + f_{5} (Δ θ_{B A C})

(40)

f (Δ θ_{B A C}) = \sum_{i = 1}^{5} w_{i} f_{i} (Δ θ_{B A C})

(41)

将各优化目标函数统一到同一量级后，可依据文献^[16]对权值进行二次定义，其中间隙宽度、摩擦力矩、不平衡转矩的权值均有定义，而增益波动和ITAE值仅与机构的稳定精度相关，所以定义其权值和不平衡力矩权值一致。增益波动权值w₁=0.01，间隙宽度权值w₂=6，不平衡力矩权值w₃=0.005，摩擦力矩权值w₄=0.03，ITAE权值w₅=0.01。

表2样机非独立变量

Tab.2 Dependent variables of prototype

3.2 非线性优化效果分析

以原始布局的设计变量为起始点进行搜索优化，原始布局和三种优化布局设计变量见表3。结合图4~6可得举升伺服机构的开环模型，如图13所示。代入表3中的布局参数，并在开环下采用恒值电压输入，使负载从-15°运行到50°。通过单一变量法可得各布局下增益波动、间隙宽度、摩擦力矩和不平衡力矩随着夹角θ_CAX的变化曲线，如图14所示。由图14可得原始布局和三种优化布局下的非线性环节目标值如表4所示。

表3布局设计变量

Tab.3 Layout design variables

图13电动缸举升伺服机构开环模型

Fig.13Open loop model of electric cylinder lifting servo mechanism

图14单一变量下的非线性变化曲线

Fig.14Nonlinear variation curve under single variable

表4非线性环节目标值

Tab.4 Target value of nonlinear sector

在优化值方面，优化的间隙宽度和摩擦力矩的量级要远小于优化的增益波动和不平衡力矩的量级，但其优化依然重要。这是因为间隙宽度和摩擦力矩是制约系统伺服性能的主要因素，其引起的暂态误差无法通过稳态控制器快速精确补偿。且在病态工况下，间隙宽度和摩擦力矩会远大于理想量级。

在优化百分比方面，三种优化方法都大大减小了电动缸举升伺服机构的非线性，其中不平衡力矩的优化更是达到100%。这是因为在动力学设计约束允许的条件下，不平衡力矩与其余三项非线性环节是不耦合的，而其余三项非线性环节相互耦合。

在局部串行优化的效果方面，除增益波动，其余非线性的优化效果均会劣于全局并行优化和亚全局并行优化。这是因为局部串行优化的优化顺序为不平衡力矩→摩擦力矩→间隙宽度→增益波动，这使得最后优化的增益波动取得了三个耦合非线性中的局部最优，而非耦合的不平衡力矩则没受到影响。在此可看出局部串行优化的局部优化问题。

在全局和亚全局并行优化的效果方面，两者优化效果基本一致，在此可看出全局并行优化的非必要性。

3.3 伺服特性优化效果分析

为保证闭环系统的稳定性，在机构传动比增益最大处设定PI参数。在速度闭环下采用1（°）/s的阶跃信号作为输入，并以ITAE准则进行优化。原始系统和三种优化系统的控制器设计变量见表5。

表5控制器设计变量

Tab.5 Controller design variables

由于电动缸传动较为复杂，所以难以直接获得惯量。在全局并行优化通过模型间接获取的惯量会引入误差，所以其设计的控制器和观测器均会引入误差，这里定义误差为 +0.001 3 kg·m²。而其余两种优化方法的控制器和观测器均采用准确辨识的惯量参数。

结合图3~6可得举升机构闭环模型，如图15所示。其名义模型如图16所示，其中将间隙宽度作为扰动输入时，需要变换名义模型形式^[17]。

图15电动缸举升伺服机构闭环模型

Fig.15Closed loop model of electric cylinder lifting servo mechanism

图16名义模型

Fig.16Nominal model

在速度闭环下采用正弦信号（0.565 rad/s）输入，使负载在（-15°，50°）间做正弦运动。代入表3的布局变量参数和表5的控制器变量参数。通过单一变量法可得增益波动和不平衡力矩影响下单周期ITAE值变化曲线，如图17（a）、图17（b）所示，及摩擦力矩和间隙宽度影响下单周期的最大误差变化曲线，如图17（c）、图17（d）所示。由图17可得原始系统和三种优化系统下的伺服性能指标，见表6。

由于PI控制器和DOB观测器对不同非线性环节的补偿方式不同，这里分开进行分析。增益波动和不平衡力矩属于稳态误差，应结合控制器进行分析。摩擦力矩和间隙宽度属于暂态误差，应结合观测器进行分析。

从增益波动对伺服性能的影响来看，局部串行优化方法和亚全局并行优化方法均对举升机构的伺服性能产生了积极的影响，且优化效果相近。而全局并行优化虽然也产生了积极的作用，但是效果并不如另两种优化方法，这是因为惯量误差导致了控制器的参数非最优。

图17单一变量下的单周期误差变化曲线

Fig.17Variation curve of single period error under single variable

表6伺服性能目标值

Tab.6 Target value of servo performance

从不平衡力矩对伺服性能的影响来看，三种优化方法对不平衡力矩的完全消除、对举升机构伺服性能的影响效果有着积极作用，而原始系统则较差，这是因为在伺服启动的初级阶段产生了不平衡力矩的暂态补偿误差。

从摩擦力矩对伺服性能的影响来看，全局并行优化方法对伺服性能产生了不利的影响，这是因为引入的惯量误差导致了观测器的观测误差，从而导致摩擦力矩补偿失效，而其余两种方法则不会。由于亚全局并行优化在弱化摩擦力矩非线性时为最优，其在摩擦力矩影响下的伺服性能中也取得了最优。

从间隙宽度对伺服性能的影响来看，仍然是亚全局并行优化方法最优，而全局并行优化效果最不理想，这同样是惯量误差引起的。同理可知，全局并行优化的观测器观测误差对间隙引起的激振环补偿失效，引入了一定的激振特性。

4 结论

1）电动缸举升伺服机构的可设计非线性环节中的增益波动、间隙宽度、不平衡力矩和摩擦力矩为影响机械特性的主要因素，是伺服性能优化的关键。

2）电动缸举升伺服机构的可设计非线性环节和机构布局相关，弱化非线性环节对机械伺服性能的影响可从机构布局出发，且优化效果明显。

3）亚全局并行优化方法可以有效弥补局部串行优化的局部最优问题和全局并行优化的机械参数和控制参数设计不匹配问题，对伺服性能的优化效果最佳，且更加贴合工程实际。

图1直推式举升机构

Fig.1Direct push lifting mechanism

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图2电动缸举升伺服机构的非线性环节

Fig.2Nonlinear sector of electric cylinder lifting servo mechanism

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图3包含非线性传动比的速度环

Fig.3Speed loop with nonlinear transmission ratio

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图4包含等效刚度的双惯量模型

Fig.4Double inertia model with equivalent stiffness

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图5含有不平衡力矩的举升机构模型

Fig.5Lifting mechanism model with unbalance torque

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图6含有Stribeck摩擦的举升机构模型

Fig.6Lifting mechanism model with Stribeck friction

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图7三种伺服性能优化方法

Fig.7Three servo performance optimization methods

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图8举升机构运动坐标系

Fig.8Motion coordinate system of lifting mechanism

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图9直线间隙宽度与转角间隙宽度的对应关系

Fig.9Relationship between linear gap width &corner gap width

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图10举升机构动力坐标系

Fig.10Dynamic coordinate system of lifting mechanism

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图11举升机构摩擦力分布

Fig.11Friction distribution of lifting mechanism

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图12电动缸举升伺服机构样机

Fig.12Prototype of electric cylinder lifting servo mechanism

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图13电动缸举升伺服机构开环模型

Fig.13Open loop model of electric cylinder lifting servo mechanism

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图14单一变量下的非线性变化曲线

Fig.14Nonlinear variation curve under single variable

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图15电动缸举升伺服机构闭环模型

Fig.15Closed loop model of electric cylinder lifting servo mechanism

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图16名义模型

Fig.16Nominal model

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图17单一变量下的单周期误差变化曲线

Fig.17Variation curve of single period error under single variable

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表1样机常值参数

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表2样机非独立变量

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表3布局设计变量

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表4非线性环节目标值

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表5控制器设计变量

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表6伺服性能目标值

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图1直推式举升机构

Fig.1Direct push lifting mechanism

图2电动缸举升伺服机构的非线性环节

Fig.2Nonlinear sector of electric cylinder lifting servo mechanism

图3包含非线性传动比的速度环

Fig.3Speed loop with nonlinear transmission ratio

图4包含等效刚度的双惯量模型

Fig.4Double inertia model with equivalent stiffness

图5含有不平衡力矩的举升机构模型

Fig.5Lifting mechanism model with unbalance torque

图6含有Stribeck摩擦的举升机构模型

Fig.6Lifting mechanism model with Stribeck friction

图7三种伺服性能优化方法

Fig.7Three servo performance optimization methods

图8举升机构运动坐标系

Fig.8Motion coordinate system of lifting mechanism

图9直线间隙宽度与转角间隙宽度的对应关系

Fig.9Relationship between linear gap width &corner gap width

图10举升机构动力坐标系

Fig.10Dynamic coordinate system of lifting mechanism

图11举升机构摩擦力分布

Fig.11Friction distribution of lifting mechanism

图12电动缸举升伺服机构样机

Fig.12Prototype of electric cylinder lifting servo mechanism

图13电动缸举升伺服机构开环模型

Fig.13Open loop model of electric cylinder lifting servo mechanism

图14单一变量下的非线性变化曲线

Fig.14Nonlinear variation curve under single variable

图15电动缸举升伺服机构闭环模型

Fig.15Closed loop model of electric cylinder lifting servo mechanism

图16名义模型

Fig.16Nominal model

图17单一变量下的单周期误差变化曲线

Fig.17Variation curve of single period error under single variable

表1样机常值参数

表2样机非独立变量

表3布局设计变量

表4非线性环节目标值

表5控制器设计变量

表6伺服性能目标值

引用提醒

图(17) / 表(6)

引用本文

万子平，谢馨，任广安, 等. 电动缸举升机构伺服性能的亚全局并行优化设计[J]. 国防科技大学学报, 2024, 46(5): 65-78.

复制

WAN Z P, XIE X, REN G A, et al. Sub-global parallel optimization design of servo performance of electric cylinder lifting mechanism[J]. Journal of National University of Defense Technology, 2024, 46(5): 65-78.

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图1直推式举升机构

Fig.1Direct push lifting mechanism

图2电动缸举升伺服机构的非线性环节

Fig.2Nonlinear sector of electric cylinder lifting servo mechanism

图3包含非线性传动比的速度环

Fig.3Speed loop with nonlinear transmission ratio

图4包含等效刚度的双惯量模型

Fig.4Double inertia model with equivalent stiffness

图5含有不平衡力矩的举升机构模型

Fig.5Lifting mechanism model with unbalance torque

图6含有Stribeck摩擦的举升机构模型

Fig.6Lifting mechanism model with Stribeck friction

图7三种伺服性能优化方法

Fig.7Three servo performance optimization methods

图8举升机构运动坐标系

Fig.8Motion coordinate system of lifting mechanism

图9直线间隙宽度与转角间隙宽度的对应关系

Fig.9Relationship between linear gap width &corner gap width

图10举升机构动力坐标系

Fig.10Dynamic coordinate system of lifting mechanism

图11举升机构摩擦力分布

Fig.11Friction distribution of lifting mechanism

图12电动缸举升伺服机构样机

Fig.12Prototype of electric cylinder lifting servo mechanism

图13电动缸举升伺服机构开环模型

Fig.13Open loop model of electric cylinder lifting servo mechanism

图14单一变量下的非线性变化曲线

Fig.14Nonlinear variation curve under single variable

图15电动缸举升伺服机构闭环模型

Fig.15Closed loop model of electric cylinder lifting servo mechanism

图16名义模型

Fig.16Nominal model

图17单一变量下的单周期误差变化曲线

Fig.17Variation curve of single period error under single variable

表1样机常值参数

表2样机非独立变量

表3布局设计变量

表4非线性环节目标值

表5控制器设计变量

表6伺服性能目标值

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1 非线性机理分析

2 亚全局并行优化设计

3 优化结果的分析与比较

4 结论