摘要
轨道机动规划是交会对接、月球探测等复杂航天任务设计的重要环节，但不同任务对轨道机动的变轨位置、机动量、瞄准量的配置需求不同，给机动规划通用建模与求解带来巨大挑战。针对该问题，提出了基于轨道段的通用轨道机动规划建模方法，将不同场景轨道机动需求抽象建模为轨道段、停止条件组件与约束条件组件，形成了积木式航天器飞行任务描述模型，将轨道机动需求转换为统一的非线性规划问题，采用微分修正、序列二次规划、智能优化三种方法求解。进一步开发了软件工具，作为自主航天任务工具箱（aerospace tool kit, ATK）的核心轨道模块。仿真结果表明，该方法可实现高精度轨道等不同模型与应用场景下的通用化轨道机动规划建模与求解。
Abstract
Orbital maneuver planning is an important part of the design of complex space missions such as rendezvous and docking, lunar exploration, etc. However, the varying configuration requirements of different missions for orbit transfer positions, maneuver magnitudes, and targeting parameters pose significant challenges to the generalized modeling and solution of maneuver planning. Regarding this problem, a generalized orbital maneuver planning modeling method based on orbital segments was proposed, which abstracts the maneuver requirements of different scenarios into orbital segments, stopping conditions, and constraints, forming a building-block spacecraft mission description model. The orbital maneuver requirements were converted into a unified nonlinear programming problem, which was subsequently solved by employing three distinct methods: differential correction, sequential quadratic programming, and intelligent optimization algorithms. A software module ATK. Astromaster was developed as a core module for ATK(aerospace tool kit) software. Simulation results show that the proposed method can achieve general orbit maneuver modeling and solving in different scenarios.
Keywords
随着航天技术发展，空间有特定载荷的可操控航天器不断增多。为了完成特定任务或延长卫星的使用寿命，需要对空间目标进行在轨服务与维护，如在轨组装建造、编队重构、抵近侦察、辅助变轨、燃料加注、碎片清除等[1]。在轨服务与维护是抢占航天领域制高点的一项核心技术，各航天强国相继开展过多项太空试验计划对该技术进行验证与改进[2-5]。在这些任务中，航天器通过轨道机动来改变或转移轨道，交会逼近或者对接捕获另一个航天器是前提。此外，轨道机动还可用来维持轨道，规避航天器面临的潜在碎片碰撞风险[6]。可见，实际航天任务对轨道机动的应用需求广泛[7-9]。然而，轨道调整、转移、交会等不同任务场景对轨道机动的变轨位置、方式、机动量、瞄准量等参数需求不同，传统方法往往需要针对特定问题开发专门工具，导致工具多，继承性和通用性差。因此，亟须发展能适应不同应用场景的通用轨道机动建模与求解方法。
轨道机动规划是已知航天器初始状态及需要到达的终端状态，求解将航天器由初始位置转移到终端位置所需机动量的多点边值问题，实质是常微分方程作用下非线性规划或最优控制问题的建模与求解。该问题是航天动力学经典基础理论问题[10]，长期以来学者们针对多种特定问题开展了研究，例如近地交会规划问题[11-13]、地月空间规划问题[14]、行星际轨道规划问题[15-16]等。实际任务中面临的多应用场景、多航天器、多飞行阶段、摄动影响无解析解等特征，需要轨道机动规划的设计/约束变量灵活可调、变轨位置灵活可配、模型参数灵活可定制，使通用轨道机动规划通用化建模与程序架构设计难、复杂计算流程灵活配置实现难、非线性方程/规划模型稳定收敛求解难。目前仅有小部分成熟软件具备通用的轨道机动规划功能。
伴随着“阿波罗”计划、国际空间站、“好奇号”火星探测、“罗塞塔”彗星探测等一系列工程任务的实施，国外的航天任务设计工业软件率先起步并不断成长，从针对特定任务、功能单一的专用软件逐渐发展为适用多种任务、功能多样的通用软件[17]，如NASA戈达德航天中心的开源软件GMAT[18]（general mission analysis tool）、NASA喷气推进实验室的内部软件MONTE[19]（mission analysis operations and navigation tool kit environment）、NASA约翰逊航天中心的内部软件Copernicus[20]以及美国AGI公司的商业软件体系工具箱（systems tool kit，STK）[21-22]等。其中，STK Astrogator模块最具行业影响力，该模块用于1998年美国休斯公司“亚洲三号”卫星借助月球引力重新入轨的抢救任务、“和平号”空间站离轨任务等重大轨道规划问题，得到航天工程领域认可，也奠定了STK核心轨道设计能力[22]。GMAT由NASA戈达德航天中心2002年开始设计，可以通过脚本或界面配置任务资源与任务序列，支持近地、地月以及星际等飞行任务的分析与设计[18]。Copernicus软件最初由得克萨斯大学开发，支持多轨道段的拼接、继承与约束配置，能灵活设计多航天器飞行任务[20]。可见，国外软件中STK、GMAT、Copernicus已具备较为通用化的轨道机动规划功能。
随着我国载人航天、在轨服务、探月工程和深空探测等重大航天工程的开展，国内也出现了具备一定通用性的软件[23]，如航天慧海公司研发的VVP-STK卫星仿真分析软件[24]、中科星图推出的洞察者空间信息分析平台[25]以及航天器系统仿真软件SpaceSim[26]等。这些软件采用不同的技术路线，针对多样的航天任务需求实现了一定的通用性，但在功能、性能和交互性方面与国外软件还存在较大差距。特别地，还未见这些软件具备通用化轨道机动规划相关功能。近年来，国防科技大学研发推出了对标STK软件的自主航天任务工具箱（aerospace tool kit， ATK）[27]，并于2024年11月在第六届中国载人航天学术大会上正式发布了3.0版本。该软件“机动规划”模块对标STK Astrogator，是国内公开报道的首个较为全面实现通用轨道机动规划的软件。
作者团队在文献[28]中介绍了ATK软件机动规划模块的本体元模型设计思想与软件实现方法。本文在此基础上进一步介绍ATK软件机动规划模块的设计方法，包括轨道段模型、停止条件模型、约束条件与目标函数模型、规划求解模型，以及微分修正、摄动Lambert算法等求解器的方法原理，通过仿真算例验证本文方法的求解精度、效率与收敛性。
1 轨道机动规划问题描述
轨道机动是指航天器在控制系统的作用下，从已有的自由飞行轨道出发，最终到达另一条自由飞行轨道的操作过程，是航天器完成任务的前提条件。
1.1 轨道机动分类
航天器轨道维持、半长轴/偏心率/倾角等轨道改变、近地轨道（low earth orbit，LEO）到地球同步轨道（geosynchronous earth orbit，GEO）的轨道转移等不同场景所需要的轨道机动类型不同，为了对不同轨道机动规划问题进行通用化抽象建模，首先从不同角度对轨道机动进行分类。
1.1.1 按变轨前后轨道几何关系分类
如图1所示，轨道机动按变轨前后轨道几何关系可分为轨道改变、轨道调整与轨道转移。
轨道改变：变轨前后轨道存在交点或切点。一般为单次轨道机动，例如改变轨道半长轴、偏心率、倾角等轨道根数，碰撞规避机动[29]等。
轨道调整：初始轨道与目标轨道差别不大，轨道机动量为小量，可以采用小偏差条件下的线性化模型简化任务分析设计，例如轨道捕获、轨道维持、中途修正等[9]。
图1按轨道几何关系分类示意
Fig.1Taxonomy based on orbital geometry
1.1.2 按瞄准参数分类
轨道机动按瞄准参数可分为轨道飞越/拦截、轨道转移与轨道交会。
轨道飞越/拦截：仅瞄准终端位置矢量，包含3个分量，将产生3个等式约束。
轨道转移：从一个初始轨道转移到另一个终端轨道，对到达终端轨道时刻的相位不做限制，即仅瞄准半长轴、偏心率、倾角、升交点赤经、近地点辐角5个参数，不瞄准到真近点角。例如从LEO到GEO的轨道转移，在轨服务平台部署等。当6个轨道根数都需要瞄准时，属轨道交会问题。
轨道交会：同时瞄准终端位置矢量与速度矢量，将产生6个等式约束。
1.1.3 按推力类型分类
轨道机动按推力类型可分为脉冲推力机动、有限推力机动与小推力机动。
脉冲推力机动：推力变化函数近似为脉冲函数，其作用时间趋近于0；作用前后位置不变，速度瞬间获得沿推力方向的改变量，如式（1）所示。脉冲推力模型是理想模型，适用于发动机开机时间远远小于轨道周期的情况，基于脉冲推力模型可获得机动规划问题的解析解，可为实际的有限推力提供初值。
(1)
其中，r-和r+分别为机动前后的位置，v-和v+分别为机动前后的速度，Δv为速度增量。
有限推力机动：通过发动机开机一定时长来获得机动冲量，从而改变轨道。该模型发动机作用时间较长，无法使用脉冲推力近似，多用来描述使用化学推进剂的发动机，每次作用时间小于一个轨道周期[9]。该模型一般需要求解发动机开机时刻、开机时长、推力方向等参数，可先规划脉冲推力下的变轨方案，然后根据推力等价关系求出有限推力下的飞行程序。
小推力机动：是有限推力的一种特殊情况。多用来描述推力极小的电推进或光压推进，其轨道机动时间远大于一个轨道周期，轨道要素的变化也非常缓慢。小推力形式下的轨道机动优化是典型的最优控制问题，与脉冲推力、有限推力求解方式较为不同，求解方法主要分为直接法、间接法两类[32]。
1.2 通用化建模与求解分析
实际任务中轨道机动需求丰富，可能是单个轨道根数改变、轨道高度维持、碰撞风险规避，也可能是从一个轨道到另一个轨道的一般转移；可能是瞄准终端一个或部分轨道根数，也可能是瞄准6个轨道根数；可能采用脉冲推力变轨，也可能采用有限推力或小推力变轨。变轨的位置也有灵活可选的需求，例如，一般在近地点改变远地点高度、远地点进行轨道圆化、升交点改变倾角、轨道面交点修正轨道面偏差[33]。
因此，发展不同轨道机动规划问题的通用计算工具，需要该工具实现对不同机动问题的通用化建模描述与求解，包括设计变量灵活可选、变轨位置灵活可选、约束条件与目标函数灵活可选等。通过这些参数的可配可选，可以将不同机动规划问题转化为脱离物理背景的非线性规划问题，形成如式（2）所示的非线性规划模型：
(2)
其中：n为设计变量x的维数；x可以是轨道参数、机动时间、不同坐标系下的机动冲量等；I为不等式约束gi（x）的个数；J为等式约束hj（x）的个数；gi（x）、hj（x）由具体轨道机动规划问题的瞄准条件决定；f（x）为规划目标函数，例如可以是变轨的总速度增量或燃料最小。当目标函数f（x）缺省时，机动规划问题转化为仅满足约束条件的非线性方程组求解问题。
通用建模转化后的非线性约束规划模型式（2）可采用序列二次规划[34]、智能优化[35]等普适的优化算法求解。然而，当存在拦截、交会等终端等式约束时，若缺乏航天动力学领域知识的介入和引导，该规划模型很难获得可行解，或者对设计变量的初值极为敏感，从而对规划模型求解器的鲁棒性、全局收敛能力具有较高要求[36]。
综上，实际航天任务对轨道机动的需求丰富、类型多、通用化需求紧迫，需要对不同轨道机动问题从设计变量、变轨位置、约束条件等方面进行抽象形成通用描述模型，将其转化为普适的数学规划问题，进一步采用通用的数学类优化器求解。
2 通用轨道机动规划软件架构设计
ATK卫星对象的轨道机动规划工具对标STK Astrogator实现了通用化轨道机动规划建模与求解。主要通过卫星飞行过程通用化建模、轨道预报停止条件建模、规划目标与约束条件建模实现，其中停止条件模型、约束条件模型均与坐标系、中心天体动态关联，可支持多样化的任务场景。在软件实现上，ATK机动规划工具充分利用了面向对象的多态机制，可以在不改动现有软件的条件下快速拓展新功能[28]。
2.1 飞行过程轨道段模型
卫星在太空中飞行，从一个初始状态出发，若没有发动机推力作用，将沿着当前轨道自由飞行（轨道预报）；若施加轨道机动，将瞬间改变部分轨道参数，或通过某个转移轨道最终进入目标轨道。因此，可将该飞行过程通过抽象化轨道段进行建模和描述。例如，可以抽象初始段、预报段、机动段来描述卫星在发动机推力作用下的飞行过程，机动段与预报段的任意组合搭配，可形成飞行任务控制序列（mission control sequence，MCS），描述卫星在发动机推力作用下经多个转移轨道飞向目标轨道的过程。
为了适应第1节所述不同任务、不同机动类型的通用化建模，ATK软件3.0版本机动规划工具已抽象设计了11个轨道段，如表1所示。
表1轨道段设计
Tab.1 Design of orbital segment
如图2所示，通过初始段、3个预报段、2个机动段的积木式组合，形成飞行任务控制序列，可描述航天器从初始轨道通过机动转移到目标轨道的飞行过程。其中，初始段是一个点，脉冲推力模式下的机动段也是一个点，预报段会进行航天器的轨道外推，形成轨迹线。
图2基于轨道段的飞行过程描述示意
Fig.2Spaceflight description using orbital segments
2.2 轨道预报停止条件模型
如图2所示，在航天器飞行任务控制序列中，一般在机动段前添加预报段，用来控制航天器变轨的时间或位置。实际任务中，根据不同需求，航天器经常需要在一些特殊点实施变轨，例如在近地点改变远地点高度、升交点改变倾角、轨道面交点修正轨道面偏差等[36]，为了满足这种灵活通用的变轨点需求，ATK机动规划工具在预报段设计了19种停止条件，如表2所示。
特别地，表2中除“时长”与“时刻”外，其他停止条件都可配置经过该点的圈次，例如，可设置N次经过远地点后停止。这些停止条件主要通过位置速度等轨道参数分量为0等进行捕获，需要迭代求解。
2.3 轨道瞄准约束条件与目标函数模型
航天器实施轨道机动往往是将当前部分或全部轨道参数调整到期望值，从而改变或转移轨道。这些瞄准参数往往根据任务需求而不同，例如，轨道高度维持通常瞄准半长轴，轨道圆化需要在远地点抬高近地点高度或近地点降低远地点高度，轨道交会需要同时瞄准位置速度6个参数。
为了实现对不同瞄准参数的灵活可选，ATK机动规划工具总结梳理了常用参数，建模成可以加载到2.1节任意轨道段上的11类60种“约束配置”组件，如表3所示。
表3中的约束组件，每一项还具有坐标系等配置参数，从而形成非常丰富的约束配置方案。例如，直角坐标参数可定义在中心天体惯性系，也可定义在参考航天器当地轨道坐标系，轨道根数可定义为瞬时参数，也可定义为平均参数。另外，还可根据用户对轨道机动瞄准量的需求增加约束组件。该模块通过广泛调研总结用户需求，形成丰富的组件选项，从而达到尽可能通用的目标。
表2停止条件设计
Tab.2 Design of stop condition
这些约束组件中，当某个组件不是要求瞄准某个具体值，或者约束到一定范围，而是要求最小化或最大化时，则可将该约束定义为目标函数，具体在瞄准序列段里选择实现。
2.4 通用轨道机动规划模型
不同类型轨道机动规划问题经飞行过程轨道段模型、轨道预报停止条件模型、轨道瞄准约束条件与目标函数模型描述后，经表1中的瞄准序列段总结，可建模为式（2）所述的通用化非线性规划模型，从而采用任何优化算法即可求解。
表3约束条件设计
Tab.3 Design of constraints
因此，瞄准序列段是通用轨道机动规划建模与求解的重要一环。实现该模型包括设计变量定义、约束与目标函数定义、求解器定义三方面内容。本节以经典的霍曼变轨为例，描述通用轨道机动规划建模与求解在ATK软件上的具体实现。
霍曼变轨是二体轨道模型下两个共面圆轨道之间的最优轨道转移方式[9]，霍曼变轨的两次脉冲机动量可解析求解。然而，当考虑摄动影响后，需要进行迭代求摄动解。ATK机动规划工具可在没有二体解为初值的情况下，直接求解摄动条件下的霍曼转移轨道机动方案，霍曼变轨MCS轨道段顺序如图3所示。
图3为该霍曼变轨问题添加初始段用于配置初始状态，然后添加预报段用于航天器从初始状态出发在初始轨道上滑行一段时间，其后添加机动段用于配置第一次脉冲机动，瞄准远地点高度（目标轨道高度），其后再添加预报段用于描述航天器进入霍曼转移椭圆轨道的自由飞行，到达远地点后，再次添加机动段配置第二次脉冲机动，对转移轨道进行圆化，从而进入瞄准的终端轨道。分别为每次机动添加一个瞄准序列段，用于规划求解需要的脉冲机动冲量。下面以第一次脉冲机动冲量为例进行机动规划建模论述。
图3霍曼变轨轨道段示意
Fig.3Orbital segments for Hohmann maneuver
2.4.1 设计变量定义
如图3所示，对挂载到瞄准序列段下的子级轨道段，某些配置参数可定义为设计变量进行优化或迭代求解，如“机动1”脉冲机动冲量在VNC（velocity-normal-conormal）坐标系（X方向沿航天器速度矢量，Y方向沿轨道面法向，Z方向构成右手坐标系）下的X方向分量，通过在该变量后面圆圈打钩即定义为设计变量。
同理，预报段的时长、时刻、真近点角、纬度辐角，初始段的轨道6根数、历元时刻，更新段的大气阻力系数、太阳光压系数等，当作为瞄准序列段的子级段时，其配置参数均可选择定义为设计变量。
2.4.2 约束条件定义
如图3所示，对挂载到瞄准序列段下的子级轨道段，选中该段后再点击“约束配置”按钮，可任意选择定义表3中所列的约束条件。对图3中霍曼变轨第一次机动，所选择约束条件为远地点地心距，加载后表明该瞄准序列段将瞄准用户在求解器中设置的远地点地心距值，该约束的实际到达值通过“机动1”机动段的结束状态进行计算，期望瞄准值在求解器中进行设置，用户还可以视情况设置为约束或目标函数，具体参见2.4.4节。
2.4.3 求解器定义
ATK软件机动规划工具在瞄准序列段可添加微分修正、序列二次规划、智能优化三种求解器。微分修正求解器仅用于求解约束满足问题，不能设置目标函数进行优化计算；序列二次规划既可求解约束满足问题，也可求解目标函数最优化问题；智能优化求解器仅能求解目标函数最优化问题；具体将在第3节论述。
2.4.4 机动规划模型
双击打开所定义求解器的属性配置页面，例如本节案例瞄准序列段1的微分修正求解器，如图4所示。图4中控制变量即为用户在2.4.1节定义的设计变量，用户可在此再次勾选确认，约束即为用户在2.4.2节定义的约束条件，需在此再次勾选确认。可见，求解器的该页面即为式（2）优化模型的具体实现。若选用序列二次规划或智能优化求解器，还可将约束设置为目标函数进行优化求解。如图4所示，配置好控制变量迭代步长与约束的瞄准期望值等参数后，即可完成迭代求解。求解获得的霍曼转移轨道如图5所示。
图4霍曼变轨微分修正求解配置
Fig.4Differential correction for Hohmann maneuver
图5霍曼变轨飞行过程
Fig.5Flight process of Hohmann maneuver
综上，ATK软件机动规划工具通过通用化轨道段建模，轨道段与设计变量、约束条件组件的灵活化配置，预报段与停止条件组件的灵活化配置，结合瞄准序列段的求解器，实现了任意轨道机动规划问题的通用化建模与求解，模型框架如图6所示。
图6通用轨道机动规划架构
Fig.6Framework of general orbital maneuver planning
3 轨道机动规划通用求解器
轨道机动规划问题经第2节模型描述后，可转化为式（2）所示通用的非线性规划模型，从而可调用通用的优化算法求解，例如序列二次规划[34]、智能优化[35]等。这些算法用于求解目标函数最优化问题，其理论和使用方式已较为成熟，本文不再赘述。
特别地，当用户的机动问题没有定义目标函数，仅需瞄准某些轨道参数时，式（2）非线性规划问题退化为非线性方程组求解，ATK采用微分修正算法求解。进一步地，当瞄准的约束为终端位置（轨道拦截）或终端位置速度（轨道交会）时，可结合轨道动力学知识发展摄动Lambert算法求解，从而无须采用微分修正求解非线性方程。本节重点介绍这两种求解器算法。
3.1 微分修正求解器算法
微分修正（differential correction，DC）是求解机动规划问题最常用的求解器之一，用于求解所有约束条件均为瞄准某固定值的情况。此时，由于所有约束均为等式约束，这类机动规划问题的本质为求解一个非线性方程组。将所有的设计变量记为x=[x1，x2，···，xn]T，约束变量y=[y1，y2，···，yn]T为关于x的函数，记为
(3)
若约束变量的期望值为y*，则待求解的非线性方程组为
(4)
ATK机动规划中的微分修正求解器采用一阶近似的方法迭代求解上述方程。在第k次迭代中，对方程（4）在xk附近进行泰勒展开，并忽略二阶及以上小量，可得
(5)
其中，xk对应的Jacobi矩阵为
(6)
为了在下一步迭代中得到方程（4）的根，希望f（xk+1）=0，因此令
(7)
则下一次迭代中的设计变量为
(8)
经过多次迭代后，当约束变量yk和期望值y*之间的误差小于给定的容许误差时，即认为得到了该机动规划问题的解。
一般情况下，设计变量x和约束变量y之间的函数关系y（x）非常复杂，很难解析计算Jacobi矩阵Jk。因此，一般通过有限差分的方式近似计算Jk，常用的方式包括前向差分和中心差分。
在实际求解过程中，特别是设计变量x和约束变量y的维数较大时，在每一步迭代中通过有限差分计算Jacobi矩阵Jk是非常费时的。为了节省计算时间，通常采用Broyden方法对Jacobi矩阵进行更新[37]，即
(9)
其中
(10)
在实际情况中，设计变量x和约束变量y的维数不一定相同，此时Jacobi矩阵不是方阵，无法对其进行求逆。为此，更通用的做法是对Jacobi矩阵Jk进行奇异值分解，进而求解方程（7）的最小二乘解。
3.2 摄动Lambert求解器算法
Lambert算法用于求解给定始末端点中心矢径及飞行时间的轨道两点边值问题，是轨道动力学的经典问题[8]。
如图7所示，给定机动航天器初始位置和速度r0、v0，目标航天器终端位置和速度（可根据其t0时刻的位置和速度预报到t2时刻获得），为实现轨道交会，需求解合适的变轨时刻及冲量t1、Δv1、Δv2使得机动航天器在t2时刻的位置和速度等于目标航天器位置和速度。假设被控航天器不在初始时刻实施机动，则在初始轨道的滑行时间为Δt1=t1-t0，在转移轨道的飞行时间为Δt2=t2-t1，从初始时刻到交会时刻的总飞行时间为Δt=t2-t0。
图7摄动Lambert求解器算法示意
Fig.7Illustration of Lambert transfer orbit
根据轨道动力学知识，给定图7中的两个端点位置r1、及飞行时间Δt2，可由Lambert算法求解转移轨道速度，即
(11)
可见，对任意给定的机动时刻t1，由轨道预报获得r1、v1，再采用式（11），可求解出能自动满足终端交会约束（r2=，v2=）所需的轨道机动冲量Δv1、Δv2，从而不但化解了等式约束，还使得设计变量由原来的7维降低为仅优化变轨时刻t1，若第一次变轨时间t1再根据2.2节的轨道预报停止条件确定，则该轨道交会约束可直接由Lambert算法求解。
然而，Lambert算法仅在二体情况下可解析求解，当考虑摄动影响后，需要通过迭代方式求摄动解，ATK软件采用同伦迭代构造摄动Lambert求解器[38]。当转移飞行时间长存在多圈解时，摄动Lambert求解器面临多圈遍历效率低、部分圈次难以获得摄动解（即迭代稳定性不好）等问题，将影响工业级软件的使用体验，是值得深入探讨的研究问题。
ATK软件的摄动Lambert求解器通过表1中的兰勃特瞄准段实现，从而可以灵活配置到MCS中求解更为复杂的多脉冲机动规划问题，用于化解交会约束，降低轨道交会类机动规划问题求解的难度。
4 仿真验证及结果分析
本节选取四种典型的轨道机动规划场景：同步转移轨道（geosynchronous transfer orbit，GTO）、交会接近、地月自由返回、地月L2点Halo轨道维持对本文所提方法进行验证。GTO倾斜轨道转移主要用于GEO卫星入轨任务，轨道交会接近可用于在轨服务、近距离观测等任务，地月自由返回轨道主要用于载人月球探测载人飞船飞行任务。
4.1 GTO机动规划
GTO机动规划通过三次脉冲将卫星从倾斜近地停泊轨道转移到地球静止轨道。采用轨道段模型对该任务进行建模，可得该任务MCS如图8所示。
图8GTO任务控制序列
Fig.8GTO mission control sequence
瞄准序列段1的优化变量为机动段1的脉冲机动X分量，其初值为0 m/s；约束为机动段1的远地点半径，其期望值为GEO轨道半径4.216×107 m。微分修正后得到控制变量最终值为2 456.62 m/s，满足远地点半径约束。瞄准序列段2的优化变量为机动段2的脉冲机动X分量，其初值为0 m/s；约束为机动段2的偏心率，其期望值为0。微分修正后得到控制变量最终值为1 481.37 m/s，满足偏心率约束。
瞄准序列段3用于求解机动段3的脉冲机动大小，改变航天器轨道倾角与偏心率，进入地球静止轨道，优化变量与瞄准约束分别如表4、表5所示。求解获得的GTO飞行轨迹如图9所示。
表4GTO瞄准序列段3控制变量
Tab.4 GTO target sequence 3 control parameters
表5GTO瞄准序列段3约束
Tab.5 GTO target sequence 3 constraint parameters
图9GTO三维可视化
Fig.93D graph of GTO
4.2 交会接近机动规划
交会接近任务中，追踪航天器通过施加单次脉冲，机动到目标航天器前方停泊点，然后再次施加脉冲，使追踪航天器沿速度反方向接近目标航天器。采用轨道段模型对该任务进行建模，可得该任务MCS如图10所示，初始轨道参数如表6所示。
图10轨道交会接近任务控制序列
Fig.10Orbital rendezvous and approach mission control sequence
表6轨道交会接近初始轨道参数
Tab.6 Orbital rendezvous and approach initial parameters
该工况MCS中的兰勃特瞄准段用于求解轨道交会等式约束，计算结果如表7所示。经过计算，如果不使用兰勃特瞄准段，该问题求解将依赖于给定的初值，难以稳定收敛。
表7兰勃特瞄准段求解结果
Tab.7 Lambert segment results
该工况MCS中的瞄准序列段包含一个脉冲机动段，使追踪航天器在目标航天器上方100 m对其进行飞越，优化变量与瞄准约束分别如表8、表9所示。求解获得的该交会接近飞行轨迹如图11所示。
表8轨道交会接近控制变量
Tab.8 Orbital rendezvous and approach control parameters
表9轨道交会接近约束
Tab.9 Orbital rendezvous and approach constraint parameters
图11轨道交会接近三维可视化
Fig.113D graph of rendezvous and approach
4.3 地月自由返回机动规划
地月自由返回机动规划轨道段模型如图12所示，初始参数如表10所示。
图12地月自由返回任务控制序列
Fig.12Earth-Moon free return mission control sequence
表10地月自由返回初始轨道参数
Tab.10 Earth-Moon free return initial parameters
图12中瞄准序列段规划初始段的轨道历元、升交点赤经以及机动段的脉冲机动X分量，使自由返回轨道在近月点与近地点满足相关约束，优化变量与瞄准约束如表11、表12所示。求解获得的飞行轨迹如图13所示。
表11地月自由返回控制变量
Tab.11 Earth-Moon free return control parameters
表12地月自由返回约束
Tab.12 Earth-Moon free return constraint parameters
4.4 地月L2点Halo轨道维持
图13地月自由返回飞行过程三维可视化
Fig.133D graph of Earth-Moon free return
图14地月L2点Halo轨道维持任务控制序列
Fig.14Earth-Moon L2 Halo orbit maintenance mission control sequence
表13地月L2点Halo轨道初始参数
Tab.13 Earth-Moon L2 Halo orbit initial parameters
图14中序列段控制任务重复运行4次，瞄准序列段规划求解机动段沿速度方向的机动量，使卫星在L2平动点附近维持周期运动，其优化变量为机动段沿卫星速度方向的机动大小，约束为预报段终端状态在L2系下的速度X分量。4次轨道维持的求解结果如表14所示，飞行轨迹如图15所示。
表14地月L2点Halo轨道维持求解结果
Tab.14 Earth-Moon L2 Halo orbit maintenance result
图15地月L2点Halo轨道三维可视化
Fig.153D graph of Earth-Moon L2 Halo orbit
5 结论
本文针对不同航天任务对轨道机动类型的多样化需求，提出了基于轨道段的通用轨道机动规划建模与求解方法。通过轨道段、停止条件、约束条件的架构和配置组件设计，实现了不同机动规划问题的通用化建模；进一步论述了微分修正、摄动兰勃特等求解器的基本原理。本文方法已作为总体架构与算法模型在团队研发的航天任务设计自主工业软件ATK中实现，是ATK软件的核心轨道模块。经同步轨道转移、轨道接近、远距离调相交会、地月自由返回等案例测试表明，本文方法具有较好的求解精度、效率与收敛性。
