航天器编队轨迹跟踪Port-Hamiltonian控制方法

刘俊，包素艳，陈琪锋，郝文康; LIU Jun; BAO Suyan; CHEN Qifeng; HAO Wenkang

doi: 10.11887/j.cn.202503007

刘俊¹ ，包素艳² ，陈琪锋¹ ，郝文康¹

1. 中南大学自动化学院，湖南长沙 410083

2. 北京航天万源科技有限公司，北京 100076

基金项目: 国家自然科学基金资助项目（62073343）

详细信息

作者简介

刘俊（1986—），男，湖南长沙人，高级工程师，博士，E-mail: liu919jun@126.com

通讯作者

陈琪锋（1976—），男，河南荥阳人，教授，博士，博士生导师，E-mail: chenqifeng@csu.edu.cn

中图分类号: V448.2

文献标识码: A

文章编号: 1001-2486(2025)03-064-09

Port-Hamiltonian control method for spacecraft formation trajectory tracking

LIU Jun¹ ， BAO Suyan² ， CHEN Qifeng¹ ， HAO Wenkang¹

1. School of Automation, Central South University, Changsha 410083 , China

2. Beijing Aerospace Wanyuan Science & Technology Co. Ltd, Beijing 100076 , China

摘要

针对航天器编队相对运动构型时变轨迹跟踪控制问题，基于端口哈密顿（port-Hamiltonian，PH）模型和广义正则变换，采用互联阻尼分配无源控制（interconnection and damping assignment passivity-based control，IDA-PBC）算法设计了一种分布式协调控制律。通过对航天器编队线性动力学的PH建模和广义正则变换，得到轨迹跟踪误差PH系统。在拓扑结构连通且固定的假设下，利用相对运动误差PH系统模型，基于IDA-PBC算法推导出了考虑邻居航天器间相对误差的轨迹跟踪分布式协调控制律。数值仿真验证了控制律的有效性，结果表明，利用PH控制方法可以完成航天器编队轨迹跟踪控制，为航天器编队分布式协调控制提供了一种新的有效方法。

关键词

航天器编队 / 广义正则变换 / 轨迹跟踪 / IDA-PBC / port-Hamiltonian

Abstract

For the time-varying trajectory tracking control problem of the relative motion configuration of spacecraft formation, a distributed coordinated control method was designed based on the PH(port-Hamiltonian) model and generalized canonical transformation, using IDA-PBC（interconnection and damping assignment passivity-based control） algorithm.Through the PH modeling and generalized canonical transformation of the linear dynamics of spacecraft formation, the trajectory tracking error PH system was obtained. Under the assumption that the topological structure is connected and fixed, a distributed coordinated control method for formation trajectory tracking considering relative errors between neighboring spacecraft was derived based on IDA-PBC algorithm and using the PH model of relative motion errors. Numerical simulation verifies the effectiveness of the control method. The results show that the PH method can complete the trajectory tracking control of spacecraft formation, which provides a new effective method for the distributed coordinated control of spacecraft formation.

Keywords

spacecraft formation / generalized canonical transformation / trajectory tracking / IDA-PBC / port-Hamiltonian

1 理论基础 1.1 PH模型 1.2 PH系统广义正则变换 1.3 IDA-PBC算法 2 基于广义正则变换的航天器编队轨迹跟踪控制 2.1 动力学模型 2.2 领导-跟随控制 2.3 系统稳定性分析 3 基于IDA-PBC算法的航天器编队分布式协调控制 3.1 航天器编队误差PH动力学模型 3.2 编队分布式协调控制 4 数值仿真 5 结论

航天器编队是指由多个航天器根据指定任务需求按一定拓扑结构组成的集群。编队航天器在轨飞行时，为了实现不同的任务，需要对编队飞行轨迹进行跟踪控制，从而达到预定构型。在航天器编队控制领域已有多种分布式控制，如一致性算法、虚拟结构法、人工势函数法、滑模控制以及循环追踪控制方法。关于以上控制方法，相关的研究成果有如：Sun等^[1]为提高航天器编队飞行控制的协同性，应用一致性理论设计了非线性控制律，研究了基于一致性理论的航天器编队飞行协调控制方法；殷泽阳等^[2]针对利用多航天器编队协同绕飞空间非合作目标的控制问题，提出了一种基于全驱系统理论的分布式约定时间预设性能控制方法；刘幸川等^[3]针对近地圆轨道多航天器编队重构问题，提出一种使用凸优化方法的编队重构最优轨迹规划方法；周立凡^[4]针对相对距离较近、对编队队形有需求的航天器编队系统控制问题，给出了快速终端滑模控制方法；赵磊等^[5]设计积分滑模编队飞行控制器，实现了行星悬浮轨道附近编队保持控制；杨希祥等^[6]采用循环追踪算法解决了编队航天器交会控制问题。

近年来，采用能量思想的端口哈密顿（port-Hamiltonian，PH）系统理论逐步兴起并快速发展，为复杂非线性系统建模与控制提供了有潜力的求解方案^[7-8]。另外PH理论从能量的角度出发实现对系统的控制，解决了李雅普诺夫（Lyapunov）函数的选取问题，用其建立的模型更加符合工程实际应用。在航天器编队控制领域，PH系统方法得到了初步研究。Javanmardi等^[9]基于PH理论研究了大型机械系统网络的领导跟随式编队跟踪控制，其中编队网络由领导跟随的有向通信图表示，所有个体被描述为具有恒定质量矩阵的PH系统，并验证了网络规模的可扩展性和特定编队的保持性。Javanmardi等^[10]还建立了考虑地球非球形J2项和大气阻力摄动的航天器相对运动PH模型。Vos等^[11]建立了赤道平面二维轨道动力学PH模型，利用广义正则变换方法获得误差系统PH模型，然后设计了基于虚拟弹簧阻尼的内部控制律，使多个卫星在轨道上均匀分布。该文是多卫星PH系统协调控制的首次尝试，针对的是特殊星座位置保持控制问题。

由于航天器编队轨迹跟踪是时变的，而对于时变PH系统，一般不满足无源性，因而一些针对性的控制方法得到研究。Guo等^[12]将Casimir 函数法拓展到了时变PH系统，从而通过能量整形来镇定时变PH系统。Fujimoto等^[13-14]借鉴经典Hamiltonian系统广义正则变换方法，对PH系统引入了广义正则变换，可保留原PH系统的结构，因而提供了对PH系统进行分析和综合的另一视角和工具；建立了利用广义正则变换构造PH系统轨迹跟踪误差系统的方法框架，其关键优势在于可以构造出具有无源性的时变误差PH系统，从而能通过对误差系统镇定来实现轨迹跟踪。上述时变PH系统控制和广义正则变换方法为PH系统跟踪控制提供了理论基础。

互联阻尼分配无源控制（interconnection and damping assignment passivity-based control，IDA-PBC）是一种针对非线性系统的控制律设计方法，自从Ortega等^[15]在2001年提出该方法以来，已经应用到非常多的领域^[16]，在航天器控制方面也初步得到了应用。如Javanmardi等^[10]应用IDA-PBC控制方法以及压缩分析设计了跟踪控制律。但是该文的方法仅是基于领导/追随者的一对一跟踪，跟踪控制中缺乏相互协调和反馈机制，如何实现编队的分布式协调控制，该研究并未提供解决思路。

针对航天器编队轨迹跟踪控制问题，本文结合广义正则变换及IDA-PBC算法设计了分布式协调控制律，通过仿真验证了广义正则变换设计的领导-跟随控制律和分布式跟踪控制律在跟踪时变编队构型中的有效性，并对两种方法进行了比较分析，探索了PH理论在航天器编队分布式协调控制领域的应用。

1 理论基础

1.1 PH模型

物理系统的PH模型^[17]如下：

\{\begin{matrix} \dot{x} = (J - D) \frac{\partial H (x, t)}{\partial x} + G u \\ y = G^{T} \frac{\partial H (x, t)}{\partial x} \end{matrix}

(1)

其中：x为系统状态变量，

x \in R^{n}; H （ x ， t ）

为系统Hamiltonian函数；u为系统控制输入，

u \in R^{m}

；y为系统控制输出，

y \in R^{m}

；J是一个反对称矩阵，表示系统的互联矩阵；D是一个非负定的对称矩阵，表示系统的阻尼矩阵；G=[0_（_n_-_m_）×_m I_m]^T。

1.2 PH系统广义正则变换

广义正则变换是一组坐标和反馈的变换，它保持了原系统的PH结构。将期望轨迹耦合到反馈系统中，使转换后的PH系统成为一个误差系统，由此得到的系统描述了原系统跟踪误差的行为，从而实现轨迹跟踪控制。

定义1^[13] 如果变换

\bar{x} = Φ （ x ， t ） ， \bar{H} = H （ x ， t ） + Q （ x ， t ） ， \bar{y} = y + α （ x ， t ） ， \bar{u} = u + β （ x ， t ）

，将PH系统（1）转换成：

\{\begin{matrix} \dot{\bar{x}} = (\bar{J} - \bar{D}) \frac{\partial \bar{H} (\bar{x}, t)}{\partial \bar{x}} + \bar{G} \bar{u} \\ \bar{y} = {\bar{G}}^{T} \frac{\partial \bar{H} (\bar{x}, t)}{\partial \bar{x}} \end{matrix}

(2)

称此变换为PH系统的广义正则变换，式（2）为误差系统，式中

\bar{x}

为系统（1）中状态变量x的广义误差，

\bar{H} （ \bar{x} ， t ）

为误差系统Hamiltonian函数，

\bar{u}

为误差系统输入，

\bar{y}

为误差系统输出；

\bar{J}

是一个反对称矩阵，表示误差系统的互联矩阵；

\bar{D}

是一个非负定的对称矩阵，表示误差系统的阻尼矩阵；

\bar{G} = （ \partial Φ / \partial x ） G

。

引理1^[13] 考虑PH系统（1），对于任意标量函数Q（x，t）和任意向量函数β（x，t），存在一对函数Φ（x，t）和α（x，t）产生如式（2）所示的广义正则变换。函数Φ（x，t）、Q（x，t）、β（x，t）产生广义正则变换当且仅当存在K（x，t）=-K（x，t）^T、S（x，t）=S（x，t）^T、R+S≥0，满足偏微分方程：

\frac{\partial Φ}{\partial (x, t)} (\binom{(J - D) \frac{\partial Q}{\partial x} + (K - S) \frac{\partial (H + Q)}{\partial x} + G β}{- 1}) = 0

(3)

此时，

α = G^{T} （ x ， t ） \frac{\partial Q}{\partial x} （ x ， t ） ， \bar{J} = \frac{\partial Φ}{\partial x} （ J + K ） \frac{\partial Φ^{T}}{\partial x} ， \bar{D} = \frac{\partial Φ}{\partial x} （ R + S ） \frac{\partial Φ^{T}}{\partial x}

。

引理2^[13] 对于一般PH系统，通过Q（x，t）和β（x，t）进行广义正则变换，其中H+Q≥0。如果存储函数

\bar{H}

满足

\frac{\partial {\bar{H}}^{T}}{\partial (x, t)} (\binom{J \frac{\partial Q}{\partial x} + G β}{- 1}) ⩾ 0

(4)

则新的输入输出映射

\bar{u}

→

\bar{y}

是无源的。如果式（4）满足并且函数

\bar{H}

是正定的，则反馈控制

\bar{u} = - C (x, t) \bar{y}

(5)

使得系统渐近稳定，其中C（x，t）≥εI＞0。如果转换系统是零状态可检测的，则该反馈控制可使系统一致渐近稳定。

1.3 IDA-PBC算法

IDA-PBC是专门用于设计PH系统控制律的方法，利用状态反馈来修改系统的互联和阻尼矩阵，从而为系统配置一个正定的能量函数使之能够作为闭环系统的Lyapunov函数。采用IDA-PBC算法转化的系统仍然为PH系统，通过对系统配置期望的互联和阻尼矩阵能够求解出控制律，并且得到的能量函数可以自然地作为Lyapunov函数。

引理3^[18-19] 对于系统

\dot{x} = f （ x ） + g （ x ） u

，若能找到函数H_d（x）、对称矩阵D_d（x）≥0和反对称矩阵J_d（x）满足偏微分方程：

g^{⊥} (x) f (x) = g^{⊥} (x) [J_{d} (x) - D_{d} (x)] \frac{\partial H_{d}}{\partial x} (x)

(6)

式中，

g^{⊥} (x) g (x) = 0

，并且x^*为H_d（x）的极小值点，

x^{*} \in R^{n}

为闭环系统的一个局部稳定的平衡点。系统控制律

\begin{matrix} u = {[g^{T} (x) g (x)]}^{- 1} g^{T} (x) \{[J_{d} (x) - \\ D_{d} (x)] \frac{\partial H_{d}}{\partial x} (x) - f (x)\} \end{matrix}

(7)

使系统转变成

\dot{x} = [J_{d} (x) - D_{d} (x)] \frac{\partial H_{d}}{\partial x} (x)

(8)

另外，如果包含在

\begin{matrix} M = \{x \in R^{n} ∣ {[\partial H_{d} (x) / \partial x]}^{T} . \\ D_{d} (x) \partial H_{d} (x) / \partial x = 0\} \end{matrix}

(9)

中的闭环系统（8）最大不变集等于{x^*}，则系统渐进稳定。

2 基于广义正则变换的航天器编队轨迹跟踪控制

2.1 动力学模型

本文考虑地球轨道上的航天器编队，因为各航天器的轨道根数与参考轨道根数仅有很小的差异，因此各航天器跟随参考点（真实或虚拟的航天器）并在其附近运动。若参考轨道为圆轨道，则各航天器相对参考点的质心运动可近似地用CW方程这一线性动力学模型表示。

航天器动力学模型（归一化后）为：

\dot{x} = B x + G u

(10)

式中：

B = [\begin{matrix} 0_{3 \times 3} & I_{3} \\ T & S \end{matrix}] ， G = [\begin{matrix} 0_{3 \times 3} \\ I_{3} \end{matrix}] ， T = [\begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}] ，

；

S = [\begin{matrix} 0 & 2 & 0 \\ - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]; x = [x ， y ， z ， \dot{x} ， \dot{y} ， \dot{z}]^{T}

为航天器状态变量，u=[u_x，u_y，u_z]^T是航天器的控制加速度；I表示单位矩阵，T和S为根据航天器动力学方程得到的相关系数矩阵；坐标系为旋转的Euler-Hill参考坐标系^[15]。为了保证航天器具有封闭的相对运动轨迹，取

{\dot{y}}_{0} = - 2 ω x_{0}

（ω为角速度），则CW方程的解析解为：

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} c c o s (ω t + ϕ) \\ - 2 c s i n (ω t + ϕ) \\ b c o s (ω t + ϕ + φ) \end{matrix})

(11)

式中：

c = \sqrt{x_{0}^{2} + {({\dot{x}}_{0} / ω)}^{2}} ， b = \sqrt{z_{0}^{2} + {({\dot{z}}_{0} / ω)}^{2}}

，

\{\begin{matrix} c o s ϕ = x_{0} / c \\ s i n ϕ = - {\dot{x}}_{0} / （ ω c ） \end{matrix} ， \{\begin{matrix} c o s （ ϕ + φ ） = z_{0} / b \\ s i n （ ϕ + φ ） = - {\dot{z}}_{0} / （ ω b ） \end{matrix}

； c为长度量纲，表示绕飞轨道的大小；φ为角度量纲，表示环绕卫星在绕飞轨道上的位置；b表示z方向上的振动幅值大小；φ为角度量纲，表示z方向上的振动相位；x₀、z₀、

{\dot{x}}_{0}

、

{\dot{z}}_{0}

分别为x、z、

\dot{x}

、

\dot{z}

初始值。

根据定义1和引理1对航天器相对运动轨迹跟踪进行广义正则变换，根据文献^[20]可知航天器相对运动的Hamiltonian能量函数为：

H (x, t) = \frac{1}{2} {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2} {\dot{y}}^{2} + \frac{1}{2} {\dot{z}}^{2} - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} z^{2}

(12)

因此结合式（10）可以得到航天器相对运动PH方程为：

\{\begin{matrix} \dot{x} = J \frac{\partial H (x, t)}{\partial x} + G u \\ y = G^{T} \frac{\partial H (x, t)}{\partial x} \end{matrix}

(13)

式中：

J = [\begin{matrix} 0_{3 \times 3} & I_{3} \\ - I_{3} & S \end{matrix}] ， \frac{\partial H （ x ， t ）}{\partial x} = [\begin{matrix} - T & 0_{3 \times 3} \\ 0_{3 \times 3} & I_{3} \end{matrix}] x

，

G = [\begin{matrix} 0_{3 \times 3} \\ I_{3} \end{matrix}]

。

2.2 领导-跟随控制

为了给航天器PH系统（13）构造一个误差系统并保证其稳定，可以对系统（13）采用如定义1所提出的广义正则变换。取

\begin{matrix} Q (x, t) = \frac{1}{2} {(x - x_{d})}^{T} (x - x_{d}) - \frac{1}{2} {\dot{x}}^{2} - \frac{1}{2} {\dot{y}}^{2} - \frac{1}{2} {\dot{z}}^{2} + \\ \frac{3}{2} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} z^{2} \end{matrix}

(14)

式中，

x_{d} = {(x_{d} ， y_{d} ， z_{d} ， {\dot{x}}_{d} ， {\dot{y}}_{d} ， {\dot{z}}_{d})}^{T}

为航天器的期望状态，由式（14）可得：

\begin{matrix} \frac{\partial Q (x, t)}{\partial x} = (4 x - x_{d}, y - y_{d}, - z_{d}, - {\dot{x}}_{d} \\ {- {\dot{y}}_{d}, - {\dot{z}}_{d})}^{T} \end{matrix}

(15)

α (x, t) = {(- {\dot{x}}_{d}, - {\dot{y}}_{d}, - {\dot{z}}_{d})}^{T}

(16)

因此根据定义1，由式（12）和式（14）可得变换后的误差系统Hamiltonian能量函数为：

\bar{H} = \frac{1}{2} {(x - x_{d})}^{T} (x - x_{d})

(17)

由式（17）可得以下表达式：

\frac{\partial \bar{H}}{\partial x} = x - x_{d}

(18)

\frac{\partial \bar{H}}{\partial t} = - {(x - x_{d})}^{T} {\dot{x}}_{d}

(19)

为了得到广义正则变换后的状态表达式，求解偏微分方程（3），式中取

K = 0_{6 \times 6} ， β （ x ， t ） = {(4 x - x_{d} + 2 {\dot{y}}_{d} - {\ddot{x}}_{d} ， y - y_{d} - 2 {\dot{x}}_{d} - {\ddot{y}}_{d} ， - {\ddot{z}}_{d} - z_{d})}^{T}

，且由式（13）可知R=0，S=0，因此可得:

\begin{matrix} \frac{\partial Φ}{\partial (x, t)} (\binom{J \frac{\partial Q}{\partial x} + G β}{- 1}) = 0 \\ \Rightarrow \frac{\partial Φ (x, t)}{\partial x} (- {\dot{x}}_{d}) = \frac{\partial Φ (x, t)}{\partial t} \\ \Rightarrow \bar{x} = Φ (x, t) = x - x_{d} \end{matrix}

(20)

于是有：

\{\begin{matrix} \bar{J} = \frac{\partial Φ (x, t)}{\partial x} J \frac{\partial Φ (x, t)^{T}}{\partial x} = J \\ \bar{G} = \frac{\partial Φ (x, t)}{\partial x} G = G \\ \bar{u} = u + β \end{matrix}

(21)

2.3 系统稳定性分析

基于引理2，可以对航天器PH系统（13）广义正则变换后的误差系统进行稳定性分析。因为当

β （ x ， t ） = (4 x - x_{d} + 2 {\dot{y}}_{d} - {\ddot{x}}_{d} ， y - y_{d} - 2 {\dot{x}}_{d} - {\ddot{y}}_{d} ， {- {\ddot{z}}_{d} - z_{d})}^{T}

，且Q（x，t）为式（14）时，求解式（4）可得：

\begin{matrix} \frac{\partial {\bar{H}}^{T}}{\partial (x, t)} (\binom{\frac{\partial Q (x, t)}{\partial x} + G β (x, t)}{- 1}) \\ = {\bar{x}}^{T} [J \frac{\partial Q (x, t)}{\partial x} + G β (x, t)] + {\bar{x}}^{T} {\dot{x}}_{d} \\ = - {\bar{x}}^{T} {\dot{x}}_{d} + {\bar{x}}^{T} {\dot{x}}_{d} \\ = 0 \end{matrix}

(22)

因此可知经广义正则变换（21）得到的系统为无源系统。

令

x = （ \bar{q} ， \bar{p} ）^{T} ， \bar{q} = （ \bar{x} ， \bar{y} ， \bar{z} ） ， \bar{p} = （ \dot{\bar{x}} ， \dot{\bar{y}} ， \dot{\bar{z}} ）

，由式（2）和式（21）可知，当

（ \bar{u} ， \bar{y} ） \equiv （ 0 ， 0 ）

时有

\begin{matrix} \bar{y} = {\bar{G}}^{T} \frac{\partial \bar{H} (\bar{x}, t)}{\partial \bar{x}} = 0 \\ \Rightarrow \frac{\partial \bar{H} (\bar{x}, t)}{\partial \bar{p}} = 0 \\ \Rightarrow \bar{p} = 0 \end{matrix}

(23)

以及

\begin{matrix} \dot{\bar{x}} = \bar{J} \frac{\partial \bar{H} (\bar{x}, t)}{\partial \bar{x}} + \bar{G} \bar{u} \\ \Rightarrow (\binom{\dot{\bar{q}}}{\dot{\bar{p}}}) = [\begin{matrix} 0_{3 \times 3} & I_{3} \\ - I_{3} & S \end{matrix}] (\binom{\frac{\partial \bar{H} (\bar{x}, t)}{\partial \bar{q}}}{\frac{\partial \bar{H} (\bar{x}, t)}{\partial \bar{p}}}) \\ \Rightarrow \dot{\bar{p}} = - \frac{\partial \bar{H} (\bar{x}, t)}{\partial \bar{q}} + S \frac{\partial \bar{H} (\bar{x}, t)}{\partial \bar{p}} \\ \Rightarrow \dot{\bar{q}} = 0 \end{matrix}

(24)

由式（23）和式（24）可得

\bar{x}

=0，因此可知系统（13）的误差系统零状态可检测。

因此，根据引理2可知存在反馈控制（5）使系统（13）的误差系统一致渐近稳定。

3 基于IDA-PBC算法的航天器编队分布式协调控制

3.1 航天器编队误差PH动力学模型

由若干给定的节点以及连接其中任意两个节点的边所构成的图形称为图^[21]，可表述为F=（V，E，A），其中V=（v₁，v₂，···，v_n）是一个有限非空的节点集合，边集E=V×V是由不同节点的无序偶对组成的集合，（v_i，v_j）∈E表示节点v_i和v_j为邻接节点，节点v_i和v_j之间可以获得信息，且记节点v_i的邻集为V_i={v_j∈V:（v_i，v_j）∈E}。邻邻矩阵

A = [a_{i j}] \in R^{n \times n}

定义为：当（v_i，v_j）∈E时，有a_ij=1，否则a_ij=0。图的Laplacian矩阵L元素取值如下：

\{\begin{matrix} l_{i j} = - a_{i j}, i \neq j \\ l_{i i} = \sum_{j = 1}^{N} a_{i j}, i = j \end{matrix}

(25)

依据PH系统的特性，即由多个具有PH结构的系统构成的系统依然是PH系统，由式（17）可得由多个航天器误差系统组成的编队误差系统Hamiltonian函数为：

\bar{H} = \sum_{i = 1}^{n} {\bar{H}}_{i} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} {\bar{x}}_{i}^{T} {\bar{x}}_{i}

(26)

式中，

{\bar{H}}_{i}

为航天器i的误差哈密顿函数，

{\bar{x}}_{i} = x_{i} - x_{i d}

为航天器i的状态误差。

由式（26）可得：

\frac{\partial \bar{H}}{\partial \bar{X}} = \bar{X}

(27)

式中，

\bar{X}

{\bar{x}}_{1}^{T}

{\bar{x}}_{2}^{T}

···

{\bar{x}}_{n}^{T}

]^T为编队误差系统状态。

因此可得编队误差系统PH方程为：

\{\begin{matrix} \dot{\bar{X}} = (I_{n} \otimes \bar{J}) \frac{\partial \bar{H}}{\partial \bar{X}} + (I_{n} \otimes \bar{G}) \bar{U} \\ \bar{Y} = (I_{n} \otimes {\bar{G}}^{T}) \frac{\partial \bar{H}}{\partial \bar{X}} \end{matrix}

(28)

式中，

\bar{U}

{\bar{u}}_{1}^{T}

{\bar{u}}_{2}^{T}

···

{\bar{u}}_{n}^{T}

]^T为系统控制律，

\otimes

表示矩阵Kronecker积。

3.2 编队分布式协调控制

为了保持航天器编队相对运动构型，将各航天器间相对位置误差耦合到系统中，取编队误差系统期望Hamiltonian函数为：

{\bar{H}}_{d} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} ({\bar{x}}_{i}^{T} {\bar{x}}_{i} + \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} {\bar{x}}_{i j}^{T} M {\bar{x}}_{i j})

(29)

式中：

{\bar{x}}_{i j} = {\bar{x}}_{i} - {\bar{x}}_{j}

为航天器i与航天器j之间相对状态保持的误差，且仅为具有拓扑连接的航天器之间才有此项，即a_ij≠0；k_p为互联系数。

由式（29）可求得：

\frac{\partial {\bar{H}}_{d}}{\partial \bar{X}} = \bar{X} + \{[(L - A) \otimes I_{6}] \bar{X}\} (I_{n} \otimes M)

(30)

根据引理3，求解匹配方程：

\begin{matrix} (I_{n} \otimes G^{⊥}) (I_{n} \otimes \bar{J}) \frac{\partial H}{\partial X} \\ = (I_{n} \otimes G^{⊥}) [I_{n} \otimes ({\bar{J}}_{d} - {\bar{D}}_{d})] \frac{\partial {\bar{H}}_{d}}{\partial \bar{X}} \end{matrix}

(31)

因为G^⊥G=0且G^⊥满秩，可取G^⊥=[I₃ 0_3×3]，并设

\{\begin{matrix} {\bar{J}}_{d} = [\begin{matrix} J_{11} & J_{12} \\ - J_{12}^{T} & J_{22} \end{matrix}], J_{11} = - J_{11}^{T}, J_{22} = - J_{22}^{T} \\ {\bar{D}}_{d} = [\begin{matrix} D_{11} & 0_{3 \times 3} \\ 0_{3 \times 3} & D_{22} \end{matrix}], D_{11} = D_{11}^{T}, D_{22} = D_{22}^{T} \end{matrix}

(32)

将式（32）代入式（31）可得到方程：

\begin{matrix} \bar{P} = [I_{n} \otimes (J_{11} - D_{11})] \{[(L - A) \otimes k_{p} I_{3}] \bar{Q}\} + \\ (I_{n} \otimes J_{12}) \bar{P} \end{matrix}

(33)

式中：

\bar{Q} = (I_{n} \otimes G^{⊥}) \bar{X} = {({\bar{q}}_{1} ， {\bar{q}}_{2} ， \dots ， {\bar{q}}_{n})}^{T}

，

{\bar{q}}_{i} = ({\bar{x}}_{i} ， {\bar{y}}_{i} ， {\bar{z}}_{i})

；

\bar{P} = (I_{n} \otimes G^{T}) \bar{X} = {({\bar{p}}_{1} ， {\bar{p}}_{2} ， \dots ， {\bar{p}}_{n})}^{T}

，

{\bar{p}}_{i} = ({\dot{\bar{x}}}_{i} ， {\dot{\bar{y}}}_{i} ， {\dot{\bar{z}}}_{i})

。

根据

\bar{P}

和

\bar{Q}

的任意性，满足该方程的条件为J₁₁=D₁₁，J₁₂=I₃。因此可设

\{\begin{matrix} {\bar{J}}_{d} = [\begin{matrix} 0_{3 \times 3} & I_{3} \\ - I_{3} & S \end{matrix}] \\ {\bar{D}}_{d} = [\begin{matrix} 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} \\ 0_{3 \times 3} & k_{d} I_{3} \end{matrix}] \end{matrix}

(34)

式中，k_d为阻尼系数。

根据引理3可知系统控制律为：

\begin{matrix} \bar{U} = {(G^{T} G)}^{- 1} G^{T} \{[I_{n} \otimes ({\bar{J}}_{d} - {\bar{D}}_{d})] \frac{\partial {\bar{H}}_{d}}{\partial \bar{X}} - \\ (I_{n} \otimes \bar{J}) \frac{\partial \bar{H}}{\partial \bar{X}}\} \end{matrix}

(35)

将式（27）、式（30）和式（34）代入式（35）中可求得系统（28）的控制律为：

\bar{U} = - [(L - A) \otimes k_{p} I_{3}] \bar{Q} - k_{d} \bar{P}

(36)

由式（36）可得误差系统第i个卫星的控制律为：

{\bar{u}}_{i} = - [\sum_{j = 1}^{n} k_{p} a_{i j} ({\bar{q}}_{i} - {\bar{q}}_{j})] - k_{d} {\bar{p}}_{i}

(37)

由定义1及式（37）可得原系统第i个卫星的控制律为：

u_{i} = - [\sum_{j = 1}^{n} k_{p} a_{i j} ({\bar{q}}_{i} - {\bar{q}}_{j})] - k_{d} {\bar{p}}_{i} - β_{i}

(38)

式中，

β_{i} = (4 x_{i} - x_{i d} + 2 {\dot{y}}_{i d} - {\ddot{x}}_{i d} ， y_{i} - y_{i d} - 2 {\dot{x}}_{i d} - {{\ddot{y}}_{i d} ， - {\ddot{z}}_{i d} - z_{i d})}^{T}

。

因为

{\bar{H}}_{d}

≥0，且

\begin{matrix} {\dot{\bar{H}}}_{d} = {[\frac{\partial {\vec{H}}_{d}}{\partial \bar{X}}]}^{T} [I_{n} \otimes ({\bar{J}}_{d} - {\bar{D}}_{d})] \frac{\partial {\bar{H}}_{d}}{\partial \bar{X}} \\ = - {[\frac{\partial {\bar{H}}_{d}}{\partial \bar{X}}]}^{T} (I_{n} \otimes D_{d}) [\frac{\partial {\bar{H}}_{d}}{\partial \bar{X}}] ⩽ 0 \end{matrix}

(39)

又因为

\bar{X} = {\bar{X}}_{d}

时，

{\bar{H}}_{d} = 0

，因此包含在

M = \{\bar{X} \in R^{6 n \times 6 n} ∣ {[\partial {\bar{H}}_{d} / \partial \bar{X}]}^{T} (I_{n} \otimes {\bar{D}}_{d}) \partial {\bar{H}}_{d} / \partial \bar{X} = 0\}

中的闭环系统最大不变集等于

\{{\bar{X}}_{d}\}

，根据引理3可知此闭环系统渐进稳定。

4 数值仿真

本节分别给出了广义正则变换和IDA-PBC算法设计的控制律进行航天器编队构型控制的数值仿真实例，主要用于验证7个航天器编队相对距离轨迹跟踪以及运动构型保持控制。设航天器在高度为600 km的近地圆参考轨道上的参考点（半长轴为6 978 km，偏心率为0，轨道倾角为π/6，升交点赤经为π/3，纬度幅角为0，真近点角为0）附近运行，计算出参考轨道的轨道角速度为ω=1.083 1×10^-3 rad/s，设置仿真步长为0.1 s，数值仿真中采用ODE45函数求解微分方程，相对精度设置为10^-8，绝对精度设置为10^-9。

仿真中，考虑了非线性和地球非球形的J₂项摄动的影响。在仿真计算的每个时间步，先将各航天器在地心惯性坐标系中的绝对运动状态转换到参考点的Euler-Hill坐标系中，然后基于Euler-Hill坐标系的相对运动状态应用提出的控制律计算各航天器的控制加速度。7个航天器按表1所示生成位于Euler-Hill坐标系X-Y-Z平面内的编队运动构型，并要求7个航天器保持此编队构型在期望的相对运动轨迹上稳定飞行。分别对航天器领导-跟随控制和分布式协调控制方法进行仿真计算，其中分布式协调控制采用固定的网络拓扑结构，其拓扑结构图的邻接矩阵为

领导-跟随控制采用式（21）的控制律，其中

{\bar{u}}_{i} = - 0.1 {\bar{y}}_{i}

，

β_{i} (x_{i} ， t) = (4 x_{i} - x_{i d} + 2 {\dot{y}}_{i d} - {\ddot{x}}_{i d} ， y_{i} - y_{i d} - {2 {\dot{x}}_{i d} - {\ddot{y}}_{i d} ， - {\ddot{z}}_{i d} - z_{i d})}^{T}

，分布式协调控制采用式（38）的控制律，其中互联系数k_p=0.02，阻尼系数k_d=0.5。各航天器轨道初始角度φ_i₀= 298°和期望角度φ_i_d=318°，其他轨迹参数如表1所示。

表1各航天器初始和期望轨迹

Tab.1 Initial and desired trajectories of each spacecraft

注：仿真实例中取Δ=0.1。

数值仿真结果如图1~4所示，所有结果都在 Euler-Hill 坐标系中表示，分别给出了期望构型中7个航天器各自的跟踪轨迹、轨迹跟踪误差、相邻航天器之间轨迹跟踪误差和控制加速度。

图1给出了7个航天器的跟踪轨迹以及编队构型，图中S_i表示第i个航天器的轨迹，从图中可以看到，航天器编队轨迹跟踪过程中能保持稳定的构型。

图1各航天器跟踪轨迹

Fig.1Tracking trajectories of each spacecraft

图2给出了7个航天器分别采用分布式协调控制和领导-跟随控制时的轨迹误差，图中ES_i为第i个航天器采用领导-跟随控制律的轨迹误差，ED_i为第i个航天器采用分布式协调控制律的轨迹误差。从图2（a）显示结果可得，x方向采用领导-跟随控制律误差收敛到10^-3 km需要800 s，而采用分布式协调控制律误差收敛到10^-3 km仅需要480 s；y方向采用领导-跟随控制律误差收敛到10^-3 km需要850 s，而采用分布式协调控制律误差收敛到10^-3 km仅需要400 s；z方向采用领导-跟随控制律误差收敛到10^-3 km需要320 s，而采用分布式协调控制律误差收敛到10^-3km仅需要200 s。由此可知，采用分布式协调控制律误差收敛速度更快。从图2（b）显示结果可得，稳态下分布式协调控制的轨迹跟踪误差小于领导-跟随控制。

图2各航天器轨迹跟踪误差

Fig.2Trajectory tracking error of each spacecraft

图3给出了7个航天器采用分布式协调控制和领导-跟随控制时相邻卫星之间的轨迹跟踪误差，图中SE_i-j为各航天器采用领导-跟随控制时第i个航天器与第j个航天器之间的相对轨迹误差，DE_i-j为各航天器采用分布式协调控制时第i个航天器与第j个航天器之间的相对轨迹误差。从图3（a）显示结果可得，在x方向采用领导-跟随控制律误差收敛到10^-3 km需要750 s，而采用分布式协调控制律误差收敛到10^-3 km仅需要200 s；在y方向采用领导-跟随控制律误差收敛到10^-3 km需要700 s，而采用分布式协调控制律误差收敛到10^-3 km仅需要300 s；在z方向采用领导-跟随控制律误差收敛到10^-3 km需要300 s，而采用分布式协调控制律误差收敛到10^-3 km仅需要200 s。由此可知，采用分布式协调控制律误差收敛速度更快。从图3（b）显示结果可得，稳态时分布式协调控制误差小于领导-跟随控制误差。

图3相邻航天器之间轨迹跟踪误差

Fig.3Trajectory tracking error between adjacent spacecraft

图4给出了分布式协调控制和领导-跟随控制时对7个航天器分别施加的加速度，图中AS_i为各航天器采用领导-跟随控制律时第i个航天器所施加的加速度，AD_i为各航天器采用分布式协调控制律时第i个航天器所施加的加速度。从图4（a）显示结果可得，采用分布式协调控制时系统在x方向所施加的加速度收敛到2×10^-4 m/s²仅需要200 s，而采用领导-跟随控制加速度收敛到2×10^-4 m/s²需要500 s；y方向所施加的加速度收敛到2×10^-4 m/s²仅需要220 s，而采用领导-跟随控制加速度收敛到2×10^-4 m/s²需要350 s；z方向所施加的加速度收敛到2×10^-4 m/s²仅需要180 s，而采用领导-跟随控制加速度收敛到2×10^-4 m/s²需要300 s。由此可知，采用分布式协调控制律加速度收敛速度更快。从图4（b）显示结果可得，稳态下分布式协调控制的加速度和领导-跟随控制无明显差别。

图4各航天器施加的加速度变化

Fig.4Variation in acceleration applied by each spacecraft

5 结论

本文基于PH理论采用广义正则变换和IDA-PBC算法，研究了航天器编队轨迹跟踪控制问题。通过广义正则变换将航天器编队时变相对运动PH方程转换为轨迹跟踪误差PH方程，从而得到航天器编队领导-跟随构型轨迹跟踪控制律；在误差系统PH模型基础上，引入相对误差的期望Hamiltonian函数，根据IDA-PBC算法，设计出了分布式协调控制律。最后采用实例仿真验证了方法的有效性。仿真结果表明，编队航天器在本文设计的控制律作用下，能够准确、快速地达到期望的运动轨迹并保持构型。相比领导-跟随控制律，采用分布式协调控制律跟踪误差收敛速度更快，相邻航天器之间轨迹跟踪稳态误差更小，因此分布式协调控制律更适合于航天器编队轨迹跟踪控制。文中基于PH理论对航天器编队轨道跟踪控制问题进行了初步探索，为PH理论在航天器编队控制领域的应用打下了基础，但采用的动力学模型是线性化模型，后续还需要研究基于航天器非线性动力学模型及考虑J₂摄动的编队轨迹跟踪控制方法。

图1各航天器跟踪轨迹

Fig.1Tracking trajectories of each spacecraft

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图2各航天器轨迹跟踪误差

Fig.2Trajectory tracking error of each spacecraft

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图3相邻航天器之间轨迹跟踪误差

Fig.3Trajectory tracking error between adjacent spacecraft

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图4各航天器施加的加速度变化

Fig.4Variation in acceleration applied by each spacecraft

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表1各航天器初始和期望轨迹

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图1各航天器跟踪轨迹

Fig.1Tracking trajectories of each spacecraft

图2各航天器轨迹跟踪误差

Fig.2Trajectory tracking error of each spacecraft

图3相邻航天器之间轨迹跟踪误差

Fig.3Trajectory tracking error between adjacent spacecraft

图4各航天器施加的加速度变化

Fig.4Variation in acceleration applied by each spacecraft

表1各航天器初始和期望轨迹

引用提醒

图(4) / 表(1)

引用本文

刘俊, 包素艳, 陈琪锋, 等. 航天器编队轨迹跟踪Port-Hamiltonian控制方法[J]. 国防科技大学学报, 2025, 47(3): 64-72.

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LIU J, BAO S Y, CHEN Q F, et al. Port-Hamiltonian control method for spacecraft formation trajectory tracking [J]. Journal of National University of Defense Technology, 2025, 47(3): 64-72.

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图1各航天器跟踪轨迹

Fig.1Tracking trajectories of each spacecraft

图2各航天器轨迹跟踪误差

Fig.2Trajectory tracking error of each spacecraft

图3相邻航天器之间轨迹跟踪误差

Fig.3Trajectory tracking error between adjacent spacecraft

图4各航天器施加的加速度变化

Fig.4Variation in acceleration applied by each spacecraft

表1各航天器初始和期望轨迹

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1 理论基础

2 基于广义正则变换的航天器编队轨迹跟踪控制

3 基于IDA-PBC算法的航天器编队分布式协调控制

4 数值仿真

5 结论